ŒLUHES

HENKI POINCAIIÉ

i'\i!is. — iM l'iii AI iiui-; c. \UTii ii;i; \ 11,1. \ us kt c

jO'.IOS liiMi il<'s iluinls-Aimiistins, 55.

ŒUVRES

HENRI POINCARE

sous LES AUSPICtS DU MLMSTKIIE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUI

l'AU

G. DARHOUX

SECRKTAIRK PERPHTUKI. IlK I.'aCADI.MIE DKS SCIENCES

TOME I[

l'UliLIK A\KC L\ COLLABORATION DR

N. E. NORLUND,

PliOKESSF-l 11 A l/lIMVEriSITÉ HE 1A>D (SltÈtlE)

lîT DE

Ernest LEBON.

PKUrE^SEVn IIONOtlAlit t. M' l^t^ÉE tllARLEMACNE.

PARIS,

GAUTHIER-VILLARS ET C"\ ÉDITEURS,

LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTEClIiNIQUE,

Quai des CJrandp-Aiiguslius, 55.

1910

Tous tlinils de lr.nlu'-lifiii. de n pi n.InrlMin ri (l'.i<iii])tHli(»n rcscrvés [loui tons pays

PRÉFACE

Au lendemain de la morl prématurée d'Henri Poincaré, ses confrères, ses amis, ses admirateurs onlélé unanimes à penser que notre pays devait rendre au géomètre qu'il venait de perdre le même hommage qu'il avait rendu aux plus grands : à Lagrange, à Laplace, à Fourier, à Gauchy. Le Ministère de l'Instruction publique a décidé de publier sans tarder les Œuvres mathématiques d'Henri Poincaré. Un traité a été conclu à cet eiïet avec l'éditeur M. Gauthier-Villars, que tant de travaux analogues, exécutés avec un désintéressement et une liabileté universellement reconnus, désignaient pour cette tâche nouvelle. Le soin de surveiller et de diriger la publication m'a été confié. Je n'en verrai pas l'achèvement; mais ce sera l'honneur de ma carrière d'en avoir provoqué et commencé l'exécution.

Le plan et le contenu des divers Volumes ont été complètement arrêtés. Dans le désir de provoquer des recherches, j'ai cru devoir com- mencer par le Tome H, parce qu'il contient les travaux les plus importants de la jeunesse de Poincaré, ceux qui concernent les fonctions fuchsiennes. L'hommage ainsi rendu à un savant illustre se doublera, je l'espère, d'un service rendu aux géomètres.

Dans la revision et la correction du texte, j'ai eu l'heureuse fortune d'être aidé et secondé par un jeune géomètre des plus distingués, M. Nôrlund, professeur à l'Université de Lund. Il avait fait, depuis longtemps, l'étude la plus approfondie des travaux que Poincaré a publiés sur ce beau sujet. Les notes nombreuses qu'il a ajoutées en différents

VI l'UÉFACE.

endroits et à la fin ilu ^'ol^llne inetlruiU en évidence toute la valeur de sa

collaboration. M. Ndriuiul unit à son beau talent matbéniatique une

parfaite connaissance de la langue française.

Aux remerciements bien vifs et bien niérllés cjue j'ai le plaisir et le

devoir de lui oil'rir, je désire associer M. Ernest Lebon, professeur

honoraire de l'Université, lauréat de deux de nos Académies, qui a revu

avec le plus grand soin les épreuves et qui m'a déjà donné son concours

si précieux pour la publication du Bulletin des Sciences luatlièma-

liques et pour celle de mes Leçons.

Gaston DARIJOUX.

ÉLOGE HISTORIQUE

D'HENRI POINCARÉ

MEMBKIi DK L'\C\DEMIK

LU DANS LA SÉANCE l'LBLKJUE ANNUELLE DU 15 DÉCEMBIŒ l'.lLi

M. &ASTON DÂRBOIX,

SECRKTAllli; rEriPÉTLliL.

Messieurs,

Il y a un an à peine, le 17 juillet 1912, Henri Poincaré nous était brusquement enlevé. Sa mort si rapide, si inattendue, excita dans le monde entier une émotion universelle. Kn France, en Europe, en Améi'ique, des voix s'élevèrent aussitôt pour célébrer les mérites de celui dont le cerveau puissant avait manifesté tant d'aptitudes diverses;, qui s'était montré à la fois mathématicien hors de pair, physicien pénétrant et profond philosophe. C'est un devoir pour nous, qui avons vécu à ses côtés, qui avons été ses contemporains ou ses anciens, d'apporter à notre tour notre témoignage, de rappeler les enseignements et les appréciations que, seuls, nous avons pu recueillir sur la belle et noble carrière qui s'est déroulée, presque toute entière, devant nos yeux.

ELOGE lllSTOnH,lir, Il IIEKIU POINCARE.

I.

Henri Poincarc naquit à Nancy le 29 avril i85/j. Ses parents étaient lorrains tous les deux. La famille Poincaré est originaire de Neuf- cliàteau, dans les Vosges. Elle peut remonter jusqu'à Jean-Joseph Poincaré, conseillerau bailliage de Neufcliàteau, qui mourut en 1700; l'un de ses petits-fils, Joseph-Gaspard Poincaré, fut maître de mathé- matiques au collège de Bourniont, près Neufchâteau.

C'est également de Jean-Joseph qu'est descendu le grand-père de notre confrère, Jules-Nicolas Poincaré, qui naquit à Neufchâteau en 1794- A peine âgé de 20 ans, il fut attaché à l'hôpital militaire de Saint-Quentin pendant la campagne de France, en 1814. En 1817, il vint s'établir à Nancy avec ses vieux parents et ses sœurs, et se fixa en 1820 dans une maison caractéristique du vieux Nancy, entre le palais ducal et la poite de la Craffe. Dans le discours qu'il prononça en recevant Henri Poincaré à l'Académie française, M. Frédéric Masson nous a dépeint de la manière la plus expressive cette maison « solide, massive et sans ornements, accostée d'un portail presque monumental dont les montants à bossages vermiculés supportent un fronton entre- coupé où brûle un pot de feu ». C'est là que sont nés les trois enfants de Jules-Nicolas, dont deux fils : en 1828, Léon Poincaré, qui devait embrasser la carrière médicale et fut le père de notre confrère; en 1829, Antoine Poincaré, (pii devint inspecteur général des Ponts et Chaussées et eut deux fils : M. Raymond Poincaré, président de la République, et M. Lucien Poincaré, directeur de l'Enseignement secondaire au Minis- tère de l'Instruction publique et des Beaux-Arts. C'est également dans la vieille maison de la rue de Guise qu'est né notre confrère Henri Poincaré, et la ville de Nancy y a fait poser récemment une plaque commémorative, offerte par l'Association des anciens élèves des lycées de Nancy, Metz, Strasbourg et Colmar.

Dans le discours ([ue je viens de rappeler, M. Frédéric Masson nous fait connaître encore les noms de deux autres membres de la famille Poincaié : un grand-oncle d'abord, le commandant Nicolas-Sigisbert

ÉLOGE HISTORIQIE d'hEXRI POIXCARÉ. IX

Poincaré, né à Nancy en 1751, qui se faisait appeler Pontcarré ('); il fit la guerre d'Espagne et disparut dans la retraite de Russie; et un autre soldat, Poincaré Amé-François, dont M. Henry Poulet nous parle longuement dans son Ouvrage sur les Volontaires de la Meiirtlie; il avait appartenu à l'armée régulière et rendit de grands services pendant les guerres de la Révolution. On l'appelait « le vieux Poincaré ».

Telle était, du côté paternel, la famille d'Henri Poincaré. Du côté maternel, il ne fut pas moins bien partagé. Sa mère, originaire d'une famille meusienne et dont les parents habitaient Arrancy, était une per- sonne très bonne, très active et très intelligente. Elle consacrait tous ses soins à l'éducation de ses deux enfants, son fils et une fille, un peu plus jeune, qui devait devenir M™'' Boutroux (-).

(') Le nom de Poincaré n'agréait pas, semble-l-il, à notre Confrère. Il aurait préféré Ponlcarré. On comprend à la grande rigueur qu'un pont soit carré, tandis que ces deux idées de point et de carré jurent de se voir ensemble accouplées. Je crois bien que c est à M. Antoine Tliomas que revient le mérite d'avoir indiqué la véritable élymologie d'un nom aujourd'hui illustie à tant de titres. Notre confrère de l'Académie des Inscriptions a découvert un « Petrus l'u^inqiiadiali », étudiant à l'Université de Paris en i4o3, et l'on a signalé depuis un Jehan Poingquarié, secrétaire de la reine Isabeau de luivlére et du duc de Bourgogne Jean sans Peur. « Le mot /)o/«_^, ajoute M. Antoine Thomas, entre encore dans quelques locutions pittoresques où il se combine avec des participes passés; on dit : frapper à poings fermés, dormir à poings fermés, livrer pieds et poings liés. Mais on ne parle plus de poings carrés. U en était jadis autrement, et c'est ce qui explique le nom de famille. »

Dans la chanson de geste de Gaydoii, par exemple, le vieux trouvère nous montre un de ses héros qui

« Hausse \q poing qu'il ot gros et quarré. » El ailleurs il nous décrit ainsi le duc Thibaud :

« Grant ol le cors, percreû et membre, Larges espaules et le pis encharné, La jambe droite et le pié bien torné; Les bras ol Ions et les pains bien qiiarrez. n

(-) C'est à M"'" Boutroux et à un camarade d'Henri Poincaré, M. le général n. P. — II. b

X ÉLOGE HlSTORIOl'K DHENRI POINCARK.

Le milieu dans lequel le jeune Henri allait se développer était de ceux qui se rencontrent bien rarement. Le père, Léon Poincarc, qui exerça toute sa vie la médecine dans sa ville natale et y devint professeur à la Faculté de Médecine, était un esprit très original, dont notre Aca- démie appréciait beaucoup et accueillait volontiers les travaux; on se souvient à Nancy, avec reconnaissance, du dévouement et du désinté- ressement avec lequel il exerçait sa profession. L'oncle, Anloni Poin- caré, sorti dans un rang brillant de l'Ecole Polytechnique, ne se conten- tait pas de remplir avec distinction sa tâche quotidienne ; il a, lui aussi, adressé à notre Compagnie plusieurs Communications fort intéressantes, relatives aux problèmes les plus essentiels de la Météorologie. C'est dans cet entourage d'une élite de savants, d'universitaires, de polytech- niciens, qu'allait s'écouler l'enfance d'Henri Ppincaré.

Cette enfance fut exceptionnellement heureuse, grâce aux qualités naturelles dont il était doué, mais grâce aussi aux soins dont il fut entouré. Sa mère veillait sur lui avec une sollicitude pleine d'intelligence, qui a certainement favorisé son développement. Il fut extrêmement pré- coce et parla très tôt, mais d'abord assez mal, parce qu'il pensait plus vite qu'il ne pouvait parler. Il fut relardé à l'âge de 5 ans par une diph- térie, à la suite de laquelle il eut pendant neuf mois une paralysie du larynx. Cette maladie le tint longtemps faible et timide. Il n'osait pas descendre un escalier tout seul, et il fuyait les camarades de son âge dont il redoutait les brutalités. Dès qu'il sut lire, il devint un lecteur acharné, il ne lisait pas deux fois le même livre; mais il lisait de telle sorte que le livre était comme gravé dans sa mémoire. Il était toujours en mesure de dire à quelle page et à quelle ligne il avait vu telle ou telle chose. Il a conservé cette faculté toute sa vie, et même il replaçait dans le temps, avec une précision extraordinaire, les événements les plus insignifiants dont il avait été témoin.

Il se passionna d'abord pour l'histoire naturelle. La Ti-rrc cnanl le

Xardel. que je dois, sur l'enfance de noire Confrère, les renseignements dont je fais usage ici. J'ai fait aussi quelques einprunls à un article publié dans le journal L'Enfant par M""" Henri Beau, née de Loménie.

ELOGE HISTORIOVE D HENRI POINCARE. XI

déluge, de Louis Figuier, qu'il avait lue à 6 ou 7 ans, avait été pour lui une révélation. On lui donna d'autres Ouvrages du même auteur. On le faisait travailler alors avec un inspecteur primaire ami de sa famille, M. Hinzelin, qui a publié des livres élémentaires estimés; M. Hinzelin ne lui donnait pas beaucoup de devoirs écrits, mais se laissait poser des questions et satisfaisait à toutes les curiosités de son élève. C'est ainsi que le jeune Henri apprit beaucoup de choses, sans que personne se rendit un compte précis de ce qu'il savait. Lorsqu'il entra au lycée en neuvième, au mois d'octobre 18G2, sa mère se demandait s'il pourrait suivre les cours; mais elle fut vite rassurée, car son fils fut classé premier à la première composition et continua assez généralement à occuper ce rang dans toutes les branches.

,T'ai eu sous les yeux un carnet qu'elle avait précieusement conservé et où se trouvent consignées toutes les notes et toutes les places que son fils avait eues pendant cette année de neuvième. Un simple coup d'œil, jeté sur ces notes, nous montre déjà en lui un enfant au-dessus de la moyenne; mais elles ne font pressentir en rien ses futures aptitudes mathématiques; tout au contraire. C'est surtout en histoire et géographie qu'il se distinguait alors. Le carnet se termine par une composition fran- çaise où l'on reconnaît déjà, bien qu'elle soit encore mal formée, l'écri- ture anguleuse si caractéristique de notre Confrère. Cette composition, qui se recommande par des qualités de sentiment et de style bien rares chez un enfant de 9 ans, mérite le nom de « petit chef-d'œuvre » que lui avait appliqué le professeur.

Notre futur Confrère avait le travail si facile qu'on ne le voyait jamais faire de devoirs ( '). II s'amusait franchement, riait, plaisantait, se don-

(') « Il n'était pas. nous d'il le général Xardel, l'écolier modèle qui reste pendant des heures assis devant sa table, le nez sur ses livres et sur ses cahiers. Combien de fois, en allant après la classe, vers 5 ou 6 heures, lui demander quelques éclaircis- sements sur ses devoirs, obscurs pour moi, lumineux pour lui, combien de fois l'ai-je trouvé dans la chambre de sa mère, allant et venant. |irenanl pari aux conversations et, en apparence, occupé de toute autre chose que de faire ses devoirs. El puis, tout à coup, il s'approchait de la table, et, sans s'asseoir, posant

XII KLOGI': IMSTORIOIK n'ilENRl POINCARÉ.

liait au jeu de tout son corps. Il ne réussissait guère dans les jeux de force et d'adresse, ni dans ceux qui exigent quelque patience; il préfé- rait ceux où son esprit avait une pari, ceux auxquels il pouvait se livrer en compagnie des sœurs des petits camarades dont sa mère l'entourait volontiers.

Au moment des vacances, il allait chez ses grands-parents, M. et M'"" I^annois, à Arrancy, en pleine campagne, où on lui laissait une entière liberté dans les limites d'un grand jardin. C'est dans les allées de ce jardin qu'il se promenait, en marchant très vite, un bâton à la main. De temps en temps, du bout de ce bâton, il écrivait ou dessinait sur le sable; et l'on s'apercevait alors que, tandis qu'il était censé se reposer, sa tète travaillait malgré -lui.

11 aimait les bêtes; la seule fois qu'il ait tenu un fusil, il a tiré au hasard dans un arbre et il en est tombé un oiseau blessé. Depuis ce temps, il n'a jamais voulu tirer un seul coup de fusil.

La tendresse qu'il avait pour les animaux ne l'empêchait pas d'aimer ses semblables. Il n'y a pas eu de fils ni de frère plus affectueux que lui. Il était, de même, doux et gentil avec ses camarades, toujours modeste et conciliant, sans chercher à faire valoir sa supériorité. Mais, quand il s'agissait de choses auxquelles il tenait pour de bonnes raisons, il oppo- sait aux autres une résistance passive, qui était inébranlable.

Pendant les vacances de i865, au sortir de la septième, nous dit le général Xardel, nos familles se réunirent pour aller passer quelques semaines à Gérardmer. Henri voulait tout voir, tout comprendre, et nous expliquait tout. Il y a à Gérardmer un écho célèbre, l'Eclio de Rambercliamp, que nous faisions causer. Henri nous expo- sait la théorie de l'écho, il connaissait la vitesse du sou et la distance exacte à laquelle il fallait se placer. Nous cherchions ensemble, au bord de la Jamagne.près du poiU des Fées, la pierre de Chailemagne, où Henii retrouvait et montrait

un genou sur la chaise, il [)renait sa plume de la main droite ou de la main gauche, au hasard, écrivait quelques mots ou quelques lignes, puis reprenait ses allées et venues, et la conversation interrompue. Après quelques pauses semblables, le devoir se trouvait fait tout de même, el bien fait. Il écrivait alors iiidilléreinuient de l'une ou de l'autre main, et également assez mal. »

ÉLOGE HISTORIQUE D HENRI POINCARE. XIll

l'empreinle laissée dans le granit par le cheval, qui, d'un bond, avait franchi le torrent. On venait de terminer et d'inaugurer la belle route du Col de la Schlucht que suivait une ligne télégraphique. Jusqu'alors, nous n'avions vu de télégraphe que le long du chemin de fer. Télégraphe et chemin de fer nous paraissaient insé- parables. Un télégraphe sur une route, c'était extraordinaire. Henri trouvait cela très simple, il nous expliquait le télégraphe Bréguet, l'électricité et la transmission des dépêches. .. . Il avait la gaîté et l'expansion d'un enfant, mais il raisonnait comme un houinie.

En 1867, ayant visité ['['^xpositioii universelle et acquis quelques notions sur la politique, il eut Ticlée de fonder, dans le grand jardin d'Arrancy, oi'i il passait ses vacances en compagnie de sa sœur et d'un cousin de son âge, un triple gouvernement, une sorte de fédération qu'il appela hTrinasie. Cela devait durer plusieurs années. C'est lui qui élabora la constitution de la Trinasic, qui distribua les ministères, qui inventa des langues particulières pour les trois royaumes et aussi leur langue commune, le Trinasien.ll se trouva que, sans en avoir l'air, il s'était attribué tout le pouvoir; mais il n'en abusa pas.

L'existence de la Trinasie fut le prétexte d'une foule d'entreprises et de réjouissances des plus variées. Quand il y avait des représentations de gala, c'était toujours notre futur Confière qui avait composé les drames et les comédies. C'est ainsi qu'il fit à i3 ou i4 ans un drame en vers sur Jeanne d'Arc.

En dehors de ces semaines de liberté, où il jouissait de la solitude à deux ou trois, il y avait la grande semaine, celle oi'i se réunissaient, tantôt ici et tantôt là, tous les parents de la région. Il s'amusait fran- chement à ces fêtes où il ne dirigeait plus. Il jouait un rôle actif dans les comédies et les charades ('). Il aima aussi beaucoup la danse; il y était infatigable. Comme il avait le travail facile, il était toujours prêt à sortir, à se promener, à s'amuser, et ses études n'en souffraient pas.

(') <i Le répertoire, nous dit le général Xardel. c'était d'abord Labiche; plus lard, nous ne craignîmes pas d'aborder celui de la Comédie-Française avec Made- inoiselle de ta Seiglière. Henri faisait le Marquis, dont on disait : Il vivra cent ans et il mourra jeune. Hélas! il n'a réalisé que la lin de la prophétie. »

XIV ÉLOGE HISTOBIOIE d'iIEMU POINCARÉ.

On a déjà remarqué plus d'une fois qu'il était distrait; il l'était sans doute, comme tous ceux qui se laissent absorber par leurs pensées; cela ne rempêchait pas, lorsqu'il le voulait, de fixer son attention sur un sujet donné, aussi longtemps qu'il était nécessaire. Une de ses distrac- tions habituelles consistait à ne pas savoir si, oui ou non, il avait déjeuné. Un jour, à l'âge de 7 à 8 ans, en marchant dans la rue du Ruis- seau, qui longeait un ruisseau à découvert, coupé çà et là par de petits ponts, il oublia de traverser en même temps que sa mère et sa sa?ur; il continua son chemin sur l'autre rive; mais, dès qu'il s'en aperçut, il les rejoignit en ligne droite, en plongeant dans l'eau jusqu'à la ceinture.

C'est lorsqu'il était en quatrième que se dessina sa vocation pour les Mathématiques. A partir de ce moment, cette vocation ne fit que grandir et devint de plus en plus impérieuse et absorbante. Pourtant il poursuivit jusqu'au bout, avec le même succès, ses études clas- siques. Nous avons là-dessus le témoignage d'un de ses professeurs d'alors, M. de Roche du Teilloy, Secrétaire général de l'Association amicale des anciens élèves des lycées de Nancy, Metz, Strasbourg et Colmar.

Qu'il m'est doux, écrivait-il dans V Annuaire de cette Association pour 1912, de louer Henri Poincaré, que j'ai si bien connu et tant aimé, qui devenait mon ami quand il était encore mon élève. Comme je comprenais l'admiration qu'inspirait à ^'oltaire finissant le jeune sage Vauvenargues.

Pendant la guerre de 1870, alors que, le professeur étant enfermé dans Paris, je fus, jusqu'à Pâques, chargé d'une partie de la Rhétorique aux élèves du lycée de Nancy, je fis enfin connaissance de Henri Poincaré. Quel élève supérieur et original ! Un jour que je lui avais proposé comme sujet de composition préparatoire au bac- calauréat es lettres les dillérences entre i'Iiotnme et l'animal, après m'avoir lu son travail, jeté sur de petits morceaux de papier de tons formats, il me demanda quelle note probable il obtiendrait à l'examen; je lui répondis que je ne sauiais le dire, très bonne ou médiocre, que c'était troj) personnel, trop original, trop osé, trop fort même, pour un candidat au baccalauréat. Désirant conserver celle étude si curieuse, je lui fis promettre de me la copier; sa modestie ne lui permit pas de me tenir parole. D'ailleurs, au baccalauréat, il fit une dissertation très distinguée sur celle question : « Comment une nation peut se relever d, dont M. de Margerie fui vivement fiappé.

ÉLOGE HISTORIQUE d'hENRI POINCARÉ. XV

Poincaré fut en effet reçu, le 5 août 1871, avec la mention bien. Sa composition latine fut, si nous en croyons les notes, supérieure même à sa dissertation française; il fut bon, ou très bon, dans toutes les parties de l'examen.

Et pourtant, il avait eu, lui aussi, sa part des épreuves de l'année terrible.

Quand la guerre éclata, Henri Poincaré avait 16 ans, il était trop jeune et trop délicat pour s'engager; mais il était à Nancv, en plein cœur de l'invasion, il en vit toute l'horreur, d'abord dans les ambulances où il accompagnait son père, mais surtout pendant un voyage qu'il Ht avec sa mère et sa sœur, à travers des difficultés inouïes, jusqu'à .\rrancy, où la santé de ses grands-parents, ébranlée par les émo- tions de la guerre, appelait M™" Poincaré. Arrancy était près du champ de bataille de Saint-Privat; il fallut, pour y arriver, traverser, par un froiil glacial, des villages incendiés, vides d'habitants. Quand on eut atteint le but du voyage, on trouva la maison familiale dévastée. Les Prussiens avaient tout emporté, les objets de valeur comme les objets sans valeur, l'argenterie, le linge, les provisions de toutes sortes. La cave, le fruitier, la basse-cour, tout avait été saccagé; et, le jour du départ des ennemis, NL et M""' Launois se seraient couchés sans dîner si une pauvre femme du village, que sa misère avait préservée du pillage, n'était venue, une soupière pleine à la main, leur ofTrir de partager son pauvre repas, heureuse de leur témoi- gner sa gratitude pour les bienfaits qu'elle aval t reçus d'eux. Jamais Henri Poincaré ne devait oublier ce voyage, et c'est l'impression qu'il en garda, comme la douleur qu'il ressentit en voyant sa ville natale occupée si longtemps par les ennemis, qui firent de lui l'ardent patriote qu'il est resté toute sa vie. C'est pendant la guerre qu'il s'apprit à lui-même l'allemand, qu'il ne savait pas, pour pouvoir lire, dans les seuls journauv qu'il eût à sa disposition, les nouvelles qu'il avait le vif désir de connaître (' ).

Voici ce que nous.dit à ce sujet M. de Roche du Teilloy :

Quand je n'avais pas eu le temps de lire les journaux je priais Poincaré de me tenir au courant des nouvelles, d'apprécier les événements. Quelle netteté! Quelles impressions justes ! C'étaient de bons premiers-Paris improvisés. Le sens des affaires politiques, du patriotisme, est inné dans la famille Poincaré.

Après avoir passé en août, comme nous l'avons vu, le baccalauréat (') M™" Henri-Beau dans le journal L' Enfant, décembre 1912.

\V1 KLOUK mSTOUIgllK DllKNlll IMIINCARK.

ès lettres, Poincaré se présenta, trois mois aprôs, en novembre i<S-i, au l)accalainvat es sciences. 11 faillit, chose étrange, être refusé, et refusé pour la composition de Malhémati([ues. Il parait qu'il était arrivé en relard et avait mal compris le sujet. Heureusement, il avait déjà sa petite réputation. « Tout autre élève que lui, dit le Président du Jury en proclamant le nom des admissibles, aurait été refusé pour sa composition de Mathématiques. » 11 est inutile de dire qu'il se releva brillamment à l'examen oral; il fut reçu avec la mention assez hirn.

Cette composition de Mathématiques, qui faillit jouer un mauvais tour à notre Confrère, avait pour principal objet la démonstration de la formule qui fait connaître la somme des termes de la série la plus simple, une progression géométrique convergente. Il semble que les séries, dans le domaine desquelles il a fait plus tard de si brillantes incursions, voulaient se venger par avance des violations de domicile qu'il devait leur infliger.

II.

Muni de ses deux baccalauréats, Poincaré entra dans la classe de Mathématicjues élémentaires, où il commença à donner des preuves de ses aptitudes extraordinaires. A la fin de cette année scolaire 1871-1872, il obtint le premier prix de Mathématiques élémentaires au Concours général, où il avait à se mesurer avec les élèves de tous les lycées de France, et se présenta, pour faire plaisir à son professeur, à l'Ecole Forestière, où il fut reçu deuxième.

L'année suivante, il entra en Mathématiques spéciales, où il rencontra deux jeunes camarades cjui devaient se faire un nom dans la Science, Paul Appell, (jui siège aujourd'hui à notre Bureau, et Colson, qui pro- fesse à l'Ecole Polytechnique et a été plusieurs fois notre lauréat.

Dès la première leçon, nous dit M. Colson, le nouvel élève, un peu voùtt' déjà, perché sur les ^'radins supérieurs comme il convient à un nouveau, soi lit de sa poclie un faire part d'enterrement en guise de cahier de notes. Nous crûmes à un oubli; mais, les jours suivants, nous le vimes avec stupéfaction griironner quelques lignes sur la même feuille, facilement reconnaissable à sa bordure de deuil. Kvi-

ELOGE HISTOniOl'E D HENRI POINCARE. XVII

déminent, le nouvel élève n'était pas sérieux. Il fallait s'en assurer. Car enfin, il avait eu le premier prix au Concours général, même sur les lycées de Paris. A la sortie d'un cours, on lui délégua un vieil élève de quatrième année poui' lui demander une explication sur un point qui avait paru particulièrement obscur. Poincaré la donna immédiatement, sans réflécliir une minute, et partit en laissant son interlocuteur et les témoins dans un tel ébahissement que l'un d'eux se demanda : Comment fait-il?

De son côté, M. Appell nous fournit l'appréciation suivante :

Dès la rentrée, son intelligence se révéla immédiatement à son professeur Elliol, comme à nous ses condisciples ; il avait le don génial d'apercevoir immédiatement, avec le détail particulier à chaque question, l'idée générale dont elle procède et la place qu'elle occupe dans l'ensemble. Il avait aussi cette simplicité, celte horreur de l'efTel, ce bon sens lorrain, cette amitié sûre qu'il a conservés toute sa vie.

A la fin de celte année, Poincaré eut encore le premier prix au Concours général de Paris et des départements ('). Il fut reçu premier à l'Ecole Polytechnique. Nous avons recueilli de diverses sources des renseignements sur la manière dont il passa ses examens.

Par pure curiosité, nous tlit M. de Roche du Teilioy, j'assistai à son examen oral de Mathématiques; la salle, ordinairement presque vide, était comble, spectacle curieux. Il parlait lentement, sarrêtant, fermant parfois les yeux, demandant la permission d'interrompre sa démonstration pour en essayer une autre dans un petit coin du tableau, puis s'écriant : « Non, décidément, j'en reviens à ma pre- mière démonstration, plus courte et plus élégante. » Venait-il de l'inventer? L'exa- minateur était émerveillé.

(') Ce succès surprit agréablement ses parents, car notre Confrère leur avait annoncé que, n'ayant écrit qu'une page, il n'aurait aucune nomination. C'est sans doute à celte composition que se rapjiorte le propos suivant tenu par M. Hollier :

« Un jour, nous dit M. de l'ioche du Teilioy, je dînais à I^aris chez un commun ami avec M. Rollier, inspecteur général des sciences pour l'Enseignement secon- daire. « Vous avez à Nancy, me dit-il, un élève de Mathématiques spéciales extra- » ordinaire. C'est moi qui ai corrigé les compositions du Concours général de » Mathématiques; eh bien! lors même que Poincaré eût fait des fautes de calcul, ■> qu'il n'eût point achevé sa copie, je l'aurais encore placé premier hors ligne, au- 11 dessus des élèves de Paris, rien que pour la façon dont il avait posé la question. » Cet élève ira loin. »

U. P. - II. c

WllI ÉLOGK IIISTOHIOIJE D'hENHI POINCAUÉ.

De son côté, M. Colson nous a conservé le souvenir de l'examen que Poincaré passa avec M. Tissol, chargé d'interroger les candidats sur les Mathématiques élémentaires.

Avant d'interroger Poincaré, M. Tissot suspendit l'examen pendant trois quarts d'iieure : le temps de préparer une question laffinée, pensions-nous. M. Tissot revint avec une question du deuxième Livre de Géométrie. Poincaré dessina un cercle informe, il marqua les lignes et les points indiqués par l'examinateur; puis, après s'être promené devant le tableau les \eu\ fixés à terre pendant assez long- temps, conclut à haute voix : Tout revient à démontrer l'égalité Ah =r CD. Elle est la conséquence de la théorie des polaires réciproques, appliquée aux deux droites.

« Fort bien, Monsieur, interrompit M. Tissol; mais je voudrais une solution plus élémentaire. » Poincaré se mit à repasseï', non plus devant le tableau, mais devant la table de l'examinateur, face à lui, presque inconscient de ses actes, puis tout à coup développa une solution trigonométrique.

« Je désire que vous ne sortiez pas de la Géométrie élémentaire », objecta M. Tissot, et presque aussitôt satisfaction fut donnée à l'examinateur d'élémen- taires, qui félicita chaleureusement l'examiné et lui annonça qu'il avait mérité la note maxima.

Il y a dans ces deux récits des détails dont la vérité sautera aux yeux de tous ceux qui ont connu Poincaré.

Comme son camarade Appel!, il s'était présenté au concours de l'Ecole Normale. C'est là que je lis sa connaissance, je venais d'être nommé maître de Conférences et j'étais pour la première fois membre du jury. Poincaré fut reçu cinquième seulement et Appell second. J'ai le souvenir bien précis de leurs examens et de l'impression que l'un et l'autre produisirent sur moi; mais comme tous mes collègues du jury, Briot, Bertin, Debray ne sont plus là, on comprendra très bien (jue je m'abstienne de tout détail.

\otrc confrère Appell entra à l'Ecole Normale; Poincaré, suivant sans doute l'exemple et les conseils de son oncle, choisit l'Ecole Poly- technique, dont il devait devenir une des gloires les plus éclatantes.

Quelques-uns de ses camarades nous ont transmis des indications relatives à son séjour à cette École. Il conliiuiail à ne pas prendre de notes aux Cours et, suivant une habitude que nous avons déjà remar-

ELOGE HISTORIOIE D IIENHI POIXCARE. \IX

quée, il travaillait fréqueinnient en se promenant dans les couloirs de l'Ecole. Pendant la récréation, il se joignait volontiers à la bande com- pacte de ses camarades de Nancy, s'accrochant au bras droit de l'un, au bras gauche de l'autre, poursuivant ses pensées sans presque parler, ni sans s'émouvoir des discussions qui, à cette époque de crise, devenaient quelquefois fort vives.

Son inaptitude pour les exercices physiques, maniement d'armes, gymnastique, était grande. Elle était particulièrement marquée pour le dessin et avait failli empêcher son entrée à l'Ecole (' ). A la fin de l'année, ses camarades, qui l'aimaient beaucoup et connaissaient son heureux caractère, eurent l'idée d'organiser une exposition de ses œuvres. Les jeunes gens sont sans pitié comme les enfants. Sous une étude de cheval, ils avaient mis touto '.crrcio; et sous une Académie tcjto y.vi]p. J'aime à croire que ces indications étaient inutiles (-).

Cette faiblesse en dessin détermina son échec à l'examen final de Géo- métrie et de Stéréotomie. L'impossibilité de construire par points des droites à peu près convergentes, peut-être aussi des démonstrations de voyantqui l'amenaient au but sans considération intermédiaire, indispo- sèrent l'examinateur, M. de la Gournerie, et valurent à l'élève une note franchement mauvaise, qui lui lit perdre le premier rang. Le premier sorti de l'Ecole fut Bonnefoi, qui devait être tué (juelques années plus tard dans un accident de mine.

Poincaré entra à l'Ecole des Mines en 1870. D'après ce que nous

(') Le général Xardel nous rapporte, à ce sujet, ce propos que l'examinateur Abel Transon. ami de sa famille, avait tenu après l'examen de Poincaré à Nancy :

« Nancy, disait M. Transon, présente un candidat bien remarquable : c'est Poincaré. Mais nous sommes bien embarrassés. Il a un zéro pour le dessin et le zéro est éliminatoire. Pour le reste il est absolument hors de pair. S'il est reçu, il sera premier ; mais sera-t-il reçu ? »

(^) Toutefois, il finit par se perfectionner. J'ai vu des dessins de lui qui ne sont pas mal. Poincaré, ([ui devait être pour ses enfants l'éducateur le plus assidu, le plus éclairé, quittant tous ses travaux pour s'occuper de leur instruction, leur dis- tribuait ces dessins à titre de récompense.

XX KI.OGE HISTOIIIOI'K DIIENIU POINCARi;.

savons de lui, on peut assurer qu'il s'acquitta avec conscience de ses devoirs professionnels. Son camarade Lallemand, aujourd'hui notre Confrère, nous apprend que, lui ayant un jour demandé des détails à propos d'un voyage d'études qu'il devait faire en Hongrie, où Poincaré était allé l'année précédente, celui-ci lui dicta, séance tenante, le pro- gramme le plus détaillé de tous les points où il devait s'arrêter, des établissements qu'il devait visiter et même des trains qu'il aurait à ])rendre, des hôtels qu'il devait choisir, de ceux qu'il fallait éviter.

III.

Tout en se préparant à être un bon ingénieur, Poincaré se tournait vers la Science, pour laquelle il était si bien doué. Ce qu'il faut admirer surtout dans ses débuts, c'est la décision, je ne crains pas de dire l'audace, avec laquelle il s'adresse aux questions les plus élevées, les plus difficiles et les plus générales. Négligeant de faire l'essai de ses forces sur des problèmes particuliers, il est de ceux qui, pour leurs coups d'essai, veulent des coups de maître; il va droit aux problèmes les plus importants, les plus essentiels; il ne craint pas de s'attaquer à ceux même dont la solution paraîtrait réservée à un lointain avenir.

Après avoir enlevé haut la main, en 1876, la licence es sciences mathé- matiques, il débuta par un Mémoire sur les propriélës des fonctions définies par les équations différentielles,' qui fut inséré en 1878 au Journal de rÊcole Polytechnique.

Notre grand géomètre Cauchy avait renouvelé les bases de l'Analyse intinitésimale par son immortelle théorie des fonctions dune variable imaginaire; mais, entraîné par ses recherches, il avait laissé à d'autres le soin d'appliqnei- et de développer ses idées. Victor Puiseux montra le premier, dans un Mémoire classique, coniment les principes de Cauchy pouvaient conduire aux propriétés essentielles des fonctions algébriques et de leurs intégrales. Briot et Bouquet abordèrent ensuite l'application de ces mêmes principes à l'étude des différentes solutions des équations diirérentielles du premier ordre. Joseph Bertrand disait volontiers que

ÉLOGE HISTORIQUE DllENIil POINCARÉ. XXI

le Mémoire dans lequel les deux savants collaborateurs avaient exposé leurs résultats constituait le plus grand progrès qui eût été réalisé, depuis Euler, dans cette branche de l'Analyse. C'est par l'étude et le perfec- tionnement de ce travail magistral que débutait Henri Poincaré.

Dans la thèse qu'il présenta en 1878 à la Faculté de Paris pour obtenir le grade de docteur es sciences mathématiques, il s'attaquait à une ques- tion encore plus difficile, celle de l'intégration des équations aux dérivées partielles à un nombre quelconque de variables indépendantes. Le jury comprenait Ossian Bonnet, Bouquet et l'auteur de celte Notice. On me fit l'honneur de me confier l'examen du travail.

Dès le premier coup d'œil, il me parut clair qu'il sortait de l'ordinaire et méritait amplement d'être reçu. Il contenait certainement assez de résultats pour fournir matière à plusieurs bonnes thèses. Mais, il ne faut pas craindre de le dire, si l'on veut donner une idée précise de la manière dont travaillait Poincaré, bien des points demandaient des corrections ou des explications. Poincaré était un intuitif. Une fois au sommet, il ne revenait jamais sur ses pas. Il se contentait d'avoir brisé les difficultés, et laissait aux autres le soin de tracer les routes royales qui devaient conduire plus facilement au but('). Il fit bien volontiers le travail de correction et de déblaiement qui me paraissait nécessaire. Mais il m'a expliqué depuis qu'au moment où je le lui demandais, il avait en tête bien d'autres idées; il s'occupait déjà des grands problèmes dont il allait nous présenter la solution.

Quoi qu'il en soit, sa thèse se recommande par plusieurs notions nou- velles et importantes. J'en citerai deux seulement : celle des fonctions à espaces lacunaires, qui avait beaucoup frappé Hermite, et celle des fonctions algébroïdes, qui est appelée à jouer en Analyse un rôle des plus essentiels.

(') Dans le bel éloge qu'il a consacré à Halpiieii, nous relevons à l'appui de ce que nous venons de dire la phrase suivante :

;< Je n'ai jamais terminé un travail sans regretter la façon dont je l'avais rédigé ou le plan que j'avais adopté. »

Voi/' le Volume intitulé : Savants et Écrivains, p. 189,

XXII KLOOE )1ISTOHIOUE d'iIENIU I'OINCAHÉ.

Les deux Mémoires (jue je viens de rappeler décelaient un esprit ori- ginal et profond et étaient le présage certain d'un hel avenir scientifique. Poincaré était tout désigné pour THnseignement supérieur. Aussi, quelques mois à peine après sa soutenance, le i*"'' décembre 1879, il était chargé du Cours d'Analyse à la Faculté des Sciences de Caen. Dans la période de six mois où il exerça les fonctions d'ingénieur des mines, et où il fut chargé en cette qualité du sous-arrondissement miné- ralogique de ^ esoul, il se fit remarquer par son sang-froid et son amour du devoir. En dépit du danger qui le menaçait, il descendit dans un puits de mine, où une explosion de grisou avait fait iG victimes et allumé l'incendie.

Quand je me reporte à cette année 1879, je songe aux espérances qu'elle nous donnait pour le développement des hautes études mathéma- tiques dans notre pays. Deux géomètres, un peu plus jeunes que Poincaré, faisaient comme lui, et contre leur gré peut-être, Fornement de nos Facultés de province. Pendant que Poincaré était à Caen, Paul Appell professait la Mécanique rationnelle à Dijon, Emile Picard ensei- gnait l'Analyse infinitésimale à Toulouse. Berthelot, à qui ses fonctions d'inspecteur général donnaient autorité dans l'Enseignement supérieur, n'avait pas voulu (jue l'on put reprocher à la Faculté de Paris de se recruter exclusivement en dehors des Facultés de province, et on lui avait donné satisfaction. Nos deux Confrères durent quitter Paris. Mais les règlements ne peuvent rien, le plus souvent, contre le mérite supé- rieur et la force des choses. Deux ans après, les trois jeunes gens nous revenaient pour rester définitivement attachés à la Faculté de Paris. Poincaré, en particulier, était nommé maître de Conférences d'Analyse au commencement de l'année scolaire 1881-1882. Quatre ans après, il était chargé du Cours de Mécanique physique et expérimenlale ; et enfin, en août i8(S(3, il succédait à notre confrère Lippmann dans la Chaire de Physique inalhéiintliqac et Calcul des Probabilités. 11 deve- nait titulaire en même temps que nos deux confrères J3oussinesq et Emile Picard.

ÉLOGE IIISTORIQl E D HENRI POINCARE.

IV.

Les travaux qu'il avait accomplis durant cette période justifiaient un avancement si rapide. Ils avaient pour objet la théorie des équations différentielles et aux différences partielles, la théorie générale des fonc- tions analytiques d'une ou de plusieurs variables, la Mécanique analy- tique et la Mécanique céleste, l'Algèbre et la Théorie des nombres. Tous contenaient des résultats entièrement neufs, des découvertes analy- tiques qui faisaient dire à un de nos maîtres : « Poincaré commence comme Cauchy. »

Nous citerons, en premier lieu, un travail tout à fait original sur les équations différentielles, présenté à l'Académie en 1880 et publié dans le Journal de Mathénialiques pures el appliquées.

Poincaré s'y place à un point de vue tout différent de celui qu'il a adopté dans son premier Mémoire; il admet que les coefficients de l'équation différentielle sont réels, et il se propose de construire et de discuter la forme générale des courbes réelles qui représentent les diverses solutions de l'équation différentielle. Le problème ainsi étudié est analogue à celui qui se présente en Géométrie analytique lorsqu'on veut reconnaître la forme générale d'une courbe d'après son équation, mais il est incomparablement plus difficile. Poincaré l'a abordé en commençant par examiner le cas où l'équation différentielle est du pre- mier degré, c'est-à-dire où le coefficient diflérentiel est le quotient de deux polynômes.

Il a reconnu tout d'abord que les courbes représentées par l'équation différenlielle sont, soit des courbes fermées, soit des spirales. Elles peuvent contenir trois sortes de points singuliers :

1° Les cols, par lesquels passent deux courbes définies par l'équation, et deux seulement ;

2" Les nœuds, où viennent se croiser une infinité de courbes définies par l'équation ;

3'^ has, foyers, autour desquels tournent ces courbes, en s'en rappro- chant sans cesse comme le ferait une spirale logarithmique;

4° Exceptionnellement enfin, et seulement dans des cas très particu-

XXIV KI.OGK IIISTOmyrK DHENIII POINCARK.

liers, se présentent en outre des centres, qu'entourent les courbes en s'enveloppant muluelleiiuMil.

Nous devons renoncer à diie ici comment l'Auteur étudie la distri- bution de ces différents points; comment il démontre, entre le nombre des cols, des foyers et des centres, une relation analogue à celle qui a été établie par l'iuler entre le nombre des faces, des sommets et des arêtes d'un polyèdre, comment enfin il étend tous ces résultats à des systèmes plus généraux d'équations différentielles; nous devons au contraire insister sur une proposition énoncée en 1882 dans une Note des Comptes rendus et qui nous parait un des plus beaux résultats obtenus en Analyse depuis Cauchy.

De toutes les découvertes que les Mathématiciens ont faites au cours du XIX* siècle, la plus féconde sans doute est celle que l'on doit à Cauchy relativement à la série de Taylor et aux conditions de sa convergence. On peut dire qu'elle a renouvelé toutes les branches de l'Analyse. En l'appliquant à un système quelconque d'équations différentielles, le grand géomètre avait établi que les solutions d'un tel système peuvent se développer en séries convergentes, ordonnées, par exemple, suivant les puissances de la différence entre la variable indépendante et sa valeur initiale; mais ces séries de Cauchy n'étaient convergentes, en général, que si le module de cette différence ne dépasse pas une certaine limite. Poincaré ne considère, il est vrai, que les solutions réelles d'un système quelconque d'équations différentielles algébriques à coefficients réels ; mais il démontre que, dans ce cas, les solutions réelles peuvent se définir de la manière la plus complète par des séries toujours conver- gentes, ordonnées suivant les puissances d'une variable auxiliaire, que l'on peut même choisir d'une infinité de manières, (^etle proposition, qu'il a appliquée lui-même au problème des trois corps, me paraît dominer toutes les recherches que l'on a entreprises depuis sur ce célèbre problème ( ' ).

('; Je ne sais si l'on a remarqué que, par une généialisalion facile, on peut obtenir le théorème suivant :

Etant donné un syslùnii; i/uelcontiue d'ct] nations difféienlielles algébriques, à

ELOGE IIISTOIUQLE D IIE.NRI POINCARE. XXV

V.

Nous sommes obligé de passer sous silence bien d'autres recherches publiées pendant celte périodede jeunesse, pour aborder la partie la plus brillante des travaux d'Henri Poincaré, celle qui concerne les fonctions fuclisii'nnes et klcincrnnes.

L'Académie avait mis au concours, pour le grand prix des Sciences mathématiques à décerner en 1880, la question suivante :

Perfectionner en quelque point important la théorie des équations dilTéren- lielles linéaires à une seule variable indépendante.

Le prix échut à Georges Halphen qui allait devenir, pour bien peu de temps, hélasl notre confrère. Mais Poincaré avait présenté au concours un travail où il avait adopté la fîère devise de sa ville natale : Non inullus premoi-.

Dans ce Mémoire, qui fut retenu par la Commission et obtint la men- tion la plus honorable, il faisait connaître le résultat de ses premières études sur un problème qu'il n'avait pas craint de se poser, malgré son extrême généralité :

Intégrer toutes les équations dilierentielles linéaiies à coefficients algébriques.

Il serait trop long d'indiquer par quelle suite de déductions il fut conduit, pour le résoudre, à introduire de nouvelles transcendantes, les J'onctLons fiichsicnncs cl kicinéeniies, dont la découverte constitue, aujourd'hui encore, son titre de gloire le plus éclatant. Je me bornerai à donner une idée de ces nouvelles fonctions, autant qu'on peut le faire, sans recourir à aucun signe mathématique.

coefficients réels ou imaginaires^ il est toujours possible d'obtenir pour toutes les inconnues des séries toujours convergentes ordonnées suivant les puissances d'une variable auxiliaire réelle si Von suppose que l'une des variables est repré- sentée par un point qui décrit une courbe algébrique, plus généralement si l'on établit une relation algébrique quelconque entre les parties réelles el les parties imaginaires de toutes les variables.

H. P. - II. d •

XXVI kl.OGE IllSI()ltH.ll !•; Il llKMil l'OINCARÉ.

La lliéorio des i'oiiclioiis elliplitiiios nous avait fait déjà connaître les propriétés de la plus simple des fonctions fuclisiennes, le module de la fonction elliptique envisagé comme fonction du rapport des périodes. Celle foncfio/i modulaire avait été complètement étudiée par Hermile qui avait fait connaître, en particulier, la remarquable propriété qu'elle possède, do se reproduire par des substitutions fractionnaires à coeffi- cients entiers et au déterminant un. C'est cette propriété de la fonction modulaire (^ ') que généralise Poincaré en considérant des substitutions de même forme, mais à coefficients quelconques. La question se dédouble alors : il faut d'abord trouver tous les groupes discontinus formés de telles substitutions; il faut ensuite former les fonctions qui demeurent invariables quand on applique ces substitutions à la variable indépendante. C'est ce double problème que Poincaré résout avec une simplicité inespérée, créant ainsi une théorie qui embrasse comme cas très particulier les fonctions trigonométriques et les fonctions ellip- tiques. Son analyse lui permet d'énoncer les mémorables propositions suivantes qui, comme l'a dit notre confrère G. Humbert, lui donnent les clefs du monde algébrique :

Deux fonctions fuclisiennes i|ui se reproduisent lorsqu'on efTectue sur la variable indépendante les substitutions d'un même groupe sont liées par une équation algé- b r i I] u e .

Inversement, les coordonnées d'un point d'une courbe algébrique quelconque s'expriment par des fonctions fuclisiennes et, par conséquent, par des fonctions uniformes d'un même paraniùtre.

^ oici enfin les deux théorèmes qui le conduisent au but qu'il s'était proposé : l'intégration de toutes les équations linéaires à coefficients algébriques.

Toute fonction fuclisienne provient île l'inversion du quotient de deux solutions d'une équation linéaire du second ordre à coefficients algébriques.

L'intégrale générale de l'équation linéaire à coefficients algébriques d'un ordie quelconque peut être obtenue par les fonctions zélafuclisieiincs.

■(') II convient de ne pas oublier ici les recherches de M. H. -A. Schwarz sur la série hypergéométrique.

ELOGE HISTORIOLE D HENRI POIXCARE.

Cette dernière proposition attend aujourd'hui encore ceux qui en montreront toute la fécondité.

VI.

Les recherches précédentes suffiraient à la gloire de plusieurs géo- mètres, et pourtant elles ne représentent qu'une faible partie de celles que Poincaré avait produites avant d'arriver à l'Institut. Si je voulais les rappeler ici avec quelque développement, cette séance et plusieurs autres ne sauraient y suffire. Je reviendrai plus loin sur les découvertes relatives à la Physique mathématique et à la Mécanique céleste. En Analyse, je me bornerai à signaler les travaux de Poincaré sur la théorie des nombres, qui lui valurent l'honneur d'être placé sur les listes de la Section de Géométrie, alors qu'il n'avait que 27 ans; ses recherches d'Algèbre pure sur les fonctions homogènes et la règle des signes de Descartes; la démonstration, faite en collaboration avec M. Emile Picard, du célèbre théorème de llieuiann sur les fonctions uniformes de n variables à in périodes; ses études sur les déterminants d'ordre infini, où il s'est rencontré avec M. Appell, sur les fonctions 0 à plusieurs variables, sur les fonctions hyperfuchsiennes introduites par M. Emile Picard, sur la réduction des intégrales abéliennes, sur les intégrales irrégulières des équations linéaires, etc.; je réserverai toutefois une mention spéciale à un Mémoire qu'Hermite préférait à tous les autres, celui où Poincaré démontre que toute fonction méromorphe de deux variables s'exprime par le quotient de deux fonctions entières. Même dans ce court résumé, il faut citer le travail où il démontre ce mémorable résultat :

Si l'on a une fonction analytique quelconque d'une variable, on peut toujours exprimer la fonction et la variable indépendante par des fonctions unifornies d'une troisième variable.

et aussi le célèbre Mémoire où il étend aux intégrales multiples la théorie des intégrales d'une fonction d'une variable imaginaire telle que Cauchy lavait créée. La généralisation de cette théorie, qui est

XXVIII ÉI.Or.F. IllSTOHIOt Is n'nENRI POINCARÉ.

le fondement de l'Analyse moderne, présentait de graves difficnltés devant lesquelles tous les efl'orls des géomètres avaient jusque-là ('clioué. Poincaré fut le premier à les surmonter.

Toutes ces découvertes juslifiaient l'appréciation qu'en Ht M. Camille Jordan, lors de la dernière candidature du jeune géomètre.

Telle esl, disait notre Confrèif, dans ses traits essentiels Pauvre accomplie par M. Poincaré. Elle esl au-dessus des éloges ordinaires et nous rappelle invincible- ment ce que Jacobi écrivait d'Abel, qu'il avait résolu des questions qu'avant lui personne n'aurait osé imaginer. 11 faut en eflet le reconnaître : nous assistons en ce moment à une révolution dans les Mathématiques de tous points comparable à celle qui s'est manifestée, il y a un derni-siécle, par lavénemenl des fonctions elliptiques.

VU.

Poincaré ne pouvait pas ne pas avoir conscience de la haute valeur de ses écrits; d'autres auraient réclamé des récompenses, lui ne demandait rien. Nous le regardions tous comme le plus fort d'entre nous. Il n'a jamais cherché à nous devancer. Nul ne pouvait prévoir les vides nombreux que la mort allait faire dans la Section de Géométrie. Pour le faire arriver plus vite, pour lui ménager une place dans la Section d'Astronomie, on lui signalait les applications que les théories par lui découvertes pouvaient avoir en Mécanique céleste. Il suivait doci- lement ces indications, s'occupait du problème des trois corps, des figures des corps célestes, et trouvait tout naturel de laisser passer devant lui tous ses anciens.

Dès 1881, au moment du décès de Michel Chasles, la Section de Géométrie l'avait fait figurer sur ses listes de présentation. Il y avait été maintenu après le décès de Victor Puiseux, d'Alfred Serret, de Bouquet. La mort prématurée de Laguerre lui ménagea une place, et il fut élu, le 24 janvier 1887, par ii suffrages sur 55 votants. Il entrait donc à l'Institut à l'âge de 32 ans.

Ce premier succès allait être suivi d'un autre non moins éclatant.

En i885, le roi de Suède, S. M. (Jscar II, préludant à la création de ces prix internationaux dont le nombre s'accroît chaque jour, avait

ÉLOGE HISTORIQUE d'hEXRI POINCARÉ. XXIX

résolu de décerner le 21 janvier 1889, soixantième anniversaire de sa naissance, un prix à une découverte importante dans le domaine de l'Analyse mathématique. Ce prix devait consister en une médaille d'or portant l'effigie du roi et en une somme de liSoo couronnes. Une Com- mission, composée de notre illustre Associé étranger K. Weierstrass, membre de l'Académie de Berlin, de notre maître Charles Hermiteet du rédacteur en chef des Acfa malliematica^ M. Miltag-Lefrter, professeur à l'Université de Stockholm, était chargée du soin de réaliser les intentions de Sa Majesté et de dresser un programme du prix proposé. Elle indiqua quatre sujets différents entre lesquels pourraient choisir les concurrents.

Le premier de ces sujets était ainsi conçu :

Etant donné un système d'un numbre (]uelconque de points matériels qui s'atti- rent mutuellement suivant la loi de Nevvlon, on propose, sous la supposition qu'un choc de deux points n'ait jamais lieu, de représenter les coordonnées de chaque point sous forme de séries procédant suivant quelijue fonclion connue du temps et qui convergent uniformément pour toute valeur réellede la variable.

Ce problème, dont la solution étendra considérablement nos connaissances par rapport au système du monde, parait pouvoir être résolu à l'aide des moyens analy- tiques que nous avons à notre disposition; on peut le supposer du moins, car Lejeune-Diricljjet a communiqué, peu de temps avant sa mort, à un géomètre de ses amis, qu'il avait découvert une méthode pour l'intégration des équations diffé- rentielles de la Mécanique, et qu'en appliquant celte méthode, il était parvenu à démontrer d'une manière absolument rigoureuse la stabilité de notre système planétaire. Malheui eusemenl, nous ne connaissons rien sur cette méthode, si ce n'est que la théorie des oscillations infiniment petites parait avoir servi de point de départ poui- sa découverte ('). On peut pourtant supposer, presque avec certi- tude, que cette méthode était basée, non point sur des calculs longs et compliqués, mais sur le développement dune idée fondamentale et simple, qu'on peut, avec raison, espérer de retrouver par un travail persévérant et approfondi (-).

(*) Klmmeii, Gidachlnisarede auf Lejeune-Dirichlet {Ahliandluni^'en der K. Akademii' der Wisseiischaflen zti Berlin^ 1860, p. 35).

(-) Nous devons dire, au sujet de la seconde partie de cet énoncé, que, dans une Note communi([uée le 5 avril 1888 à l'Académie de Berlin, Ivninecker a présenté quelques critiques au sujet de l'appréciation qui y est donnée sur les découvertes

XXX KI.Or.E HISTORIQUE I> IIRMII POINCARE.

Dans le cas pourtant où le problème proposé ne parviendrait pas à être résolu pour l'époque du concours, on pourrait décerner le prix pour un travail dans lequel quelque autre problème de Mécanique serait traité de la manière indiquée et résolu complètement.

Les trois autres sujets proposés par la Commission étaient tous de nature à intéresser Poincaré. Le troisième, par exemple, réclamait un développement des résultats fondamentaux que nous avons rappelés plus liant et (pie la théorie des équations différentielles devait à Briot et Bouquet, et nous avons déjà signalé tout ce que Poincaré avait déjà fait dans cette voie ; quant au quatrième, c'était l'étude d'un point particulier de cette belle théorie des fonctions fuchsiennes qu'il avait lui-même introduite dans la Science. Ces deux derniers sujets avaient donc do quoi le tenter-, il choisit le premier, le plus difficile sans doute, mais aussi, mais surtout, le plus séduisant. Usant toutefois de la latitude qui lui était donnée, il élargit et restreignit à la fois le problème proposé en intro- duisant dans son Mémoire une étude générale des équations de la Dyna- mique et se bornant à approfondir le plus souvent des cas particuliers du problème des trois corps : ceux, il est vrai, qui sont les plus importants pour la pratique astronomique.

Nous reviendrons plus loin sur le contenu de son Mémoire, pour le rapprocher des autres travaux qu'on lui doit sur la Mécanique céleste; mais, dès à présent, nous devons faire connaître l'appréciation que le juge le plus difficile et le plus compétent en celte matière portail sur la pièce envoyée au Concours, dans une lettre adressée à M. Miltag- Leffler, secrétaire de la Commission (').

Le Mémoire sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique

inédites de Diriclilel. Cette Note de Kronecker a été publiée dans les Sitzungsbe- richle de l'Académie de Berlin pour 1888. On pourra consulter aussi, dans le Tome XXXV^ des Acta matliemalica, rAriicle deM. Miltaii-Lefller intitulé : Zur Biographie von \\ eierstrass. Nous n'avons pas la prétention de tianclier le déliât; mais il nous semble que Weierstrass, à qui l'on doit évidemment la rédaction donnée dans le texte, avait été un peu trop précis.

(') J^o<> l'Article cité plus haut : Zur liioL^raphic von Weierstrass.

ELOGE HISTORIQUE D HENRI POINCARE. XXXI

avec la devise : NaïKjuainpraescriptos Iransibunt sidéra fines, écrivail Weierslrass, est sans contredit un travail de haute portée, bien qu'il ne contienne pas la solution du problème général auquel a trait la première des questions posées, mais qu'il traite seulement un cas particulier de ce problème.

Et plus loin :

D'après cela, je ne fais aucune difficulté de déclarer que le Mémoire en question est digne du prix. Vous pouvez dire à votre souverain que ce travail ne peut, à la vérité, être considéré comme fournissant la solution complète de la question pro- posée, mais qu'il est cependant d'une telle importance que sa publication ouvrira une ère nouvelle dans l'histoire de la Mécanique céleste. Le but rjue se proposait Sa Majesté en ouvrant le Concours peut donc être considéré comme atteint.

En communiquant ces résultats à notre secrétaire perpétuel, Joseph Bertrand, dans une lettre datée du i8 février 1889 et insérée au Tome 108 des Comptes rendus, M. Mittag-Leffler ajoutait :

Le Mémoire couronné comptera parmi les plus importantes productions mathé- matiques du siècle et sera un nouveau titre à l'estime de tous les géomètres que M. Poincaré s'est acquise par d'éclatantes découvertes.

Nous ne saurions clore l'histoire de ce mémorable Concours sans rappeler qu'une seconde récompense, consistant en une médaille d'or avec l'inscription : la sui memoriam, était accordée par le Roi au Mémoire de M. Appell, intitulé : Sur les intégrales de fonctions à multiplicateurs et leur application au développement des fonctions ahéliennes en séries trigonomètriques.

Ce beau et savant travail, ajoutait M. Mittag-Lefller, est l'o'uvre d'un géomètre de premier ordre et fera pareillement un grand honneur à la Science française.

Sur la proposition de l'Académie, le Gouvernement soulignait le succès de notre Patrie en nommant les deux lauréats chevaliers de la Légion d'honneur.

VIII.

A partir de ce moment, le nom d'Henri Poincaré pénétra dans le grand public, qui s'accoutuma à regarder notre Confrère, non plus

\XXII ÉLO(iK IIISTOIIH.)! E D llKMll l'Ol^CAIll':.

comme un géomètre de liaule espérance, mais comme un grand savant dont la France avait le droit d'être fière. Toujours modeste cependant, l'oincaré ne cessait de travailler, abordant dans sa chaire de Physique mathématique des sujets sans cesse renouvelés. Les étudiants de nos Facultés s'attachent de préférence aux professeurs dont les travaux font autorité. Non contents d'écouler les leçons de Poincaré, ses élèves vou- lurent qu'elles fussent utiles à d'autres et résolurent de les imprimer. C'est ainsi que parurent successivement les Ouvrages suivants :

Potentiel et méc.vmque des fluides. Cours professé pendant l'année i885-i88G; la deuxième édition de cet Ouvrage a été rédigée par M. ./. (in il tel.

Theoiue .MATHEMATIQUE DE L\ LUMIÈRE, Touic I, Comprenant les leçons professées à la Sorbonne pendant le premier semestre i8(S--i888 etrédi- gées par M. ./. Bloitdiii.

Thermodynamique, leçons professées pendant le premier semestre 1888- 1889, rédigées par M. J. Bloiulin.

Electiucité ET Optique, Tome I : Les théories de Maxwell ei la théorie éleclroniagnétique de la lumière, leçons professées pendant le second semestre 1888-1889, rédigées par M. ./. Blond in.

Tome II : Les théories de Helniholtz et les expériences de Hertz, leçons professées pendant le second semestre 1889-1890 et rédigées par M. B. Brnnhes.

CAi'ii.i.ARrri;, leçons professées pendant le second semestre 1888-1889, et rédigées par M. J . Blondin.

Leçons si k la theoiue de l'élasticité, professées pendant le pre- mier semestre 1 890-1 891, et rédigées par MM. E. Borel et Jules Drach .

Théoi'.ii: matiiemaitque de la lumière. Tome il : Nouvelles études .sur la diffracti(jn. Théorie de la dispersion de Helmholtz, leçons pro- fessées pendant le premier semestre 1891-1892, rédigées par MM. La- molle et D. Hurmuzescu.

ÉLOGE HISTORIQUE DHENRI POINCARÉ. XWIII

Théorie des TOUur.iLLONS," leçons professées pendant le second semestre 1H91-1892 et rédigées par M. Lainotle.

Les Oscillations électriques, leçons professées pendant le premier semestre 1892-1893, rédigées par M. Cli . Maiirain.

Théorie analytmjue de la propacation de i.a chaleur, leçons professées pendant le premier semestre 1893-189'!, rédigées par MM. Rouycr et Baiir.

Calcul des Proijarilités, leçons professées à la Sorbonne pendant le second semestre 1893-189'! et rédigées par M. 4. Qiii(iu<'l.

Théorie du potentiel nkwkinien, leçons professées pendant le premier semestre 1894- 1H95, rédigées par MM. Edmiaid Le Ihiy e[ (Icoi-gis VincciU.

Electricité et Optique. Iji htiiiièie cl les llièorics élcrlrodyiianii- qiœs, leçons professées en 1899 et rédigées par MM. ./. Bloml.in ci E . Néculcéa.

Il n'était pas dans la nature de l'esprit de Poincaré de faire comme beaucoup de ses collègues de la Sorbonne, et de |niblier lui-même ses cours en les amenant au plus liaut degré de perfection. On doit donc savoir beaucoup de gré à V Associalion amicale des élèves et des anciens élèves de la Faculté des Sciences du soin qu'elle a pris de recueillir et de pulilier [jrescjue toutes les leçons do nolie ( lonfrère. Elle a ainsi rendu un service inap|n'éciable aux liaulcs études scieiilifi(|ues. l'oincaré corri- geait, sans doute, les épreuves deces publications, lui tout cas, il ajoutait fréquemment des préfaces pleiiiesde sens etd'esprit, (|iii mériteront d'être toujours lues.

L'une d'elles pourtant, celle (juil plaça en tête des deux Volumes

intitulés Eleclricilé el Optique^ lui valut de bien vives critiques de la part

de notre maître commun, Joseph Bertrand. Poincaré, en parlant de

l'œuvre géniale de Maxwell, y avait émis quelques appréciations qui se

trouvaient en contradiction complète avec les idées les plus enracinées,

si j'ose dire, de Beilrand. Aboi'danl la grande question des explications

mécaniques de l'Univers, il aflirmait, eu s'appuyant sur des cousidéra- II. p. - II. e

XWlV Èl.OGE lllSTdliKd K ll'llKMU l'OlNCAIlÉ.

lions i|ui, je ravoiic iiic [>;u'aissciil liirii fi'agiles, <1U(', ?i un |ilii'noniène comporlc une explication niécani(|ue, il en aclniellra une inlinilé d'aulres, rendant égaleim-nt l)ien CDinptc de toutes les |)articulaiités relevées par l'expérience.

Entre toutes ces explications possibles, disait-il, comment faire un choix pour lequel le secours de l'expérience nous fait défaut? Un jour viendra peut-être où les physiciens se désintéresseront de ces questions, inaccessibles aux méthodes posi- tives, el les abiuidonneronl auv méiaphvsiciens. Ce jour n'est jias venu; ! homme ne se résigne pas si aisément à ignoiei' éternellement le fond des choses.

Bertrand était de ceux (jui ne se résignent pas.

Puisque je viens de parler de Bertrand, je dois signaler un volume de Poincaré, qui a dfi, par contre, lui faire grand plaisir. Ce sont les Leçons sur le Calcul des probabilités, dont une seconde édition a paru, il y a deux ans, revue et augmentée par TAuteur. ile Traité de Poincaré ne me paraît pas avoir été estimé à toute sa valeur. J'en suis assuré, il figurera dignement à côté des chefs-d'œuvre de Laplace et de Bertrand. J'y signalerai particulièrement une introduction très fine sur les lois el la définition du hasard, des Chapitres sur la prohabililé du continu, oii Poincaré éclaircit un paradoxe célèbre proposé par Bertrand; ceux aussi (prit a consacrés à la théorie des erreurs et à la loi célèbre de Gauss. Bertrand s'était borné à critiquer et à démolir. Poincaré a com- mencé à reconstruire.

IX.

On se ferait une idée bien incomplète de l'activité de notre Confrère pendant cette période de sa vie si on la limitait aux cours précédents, auxquels il faut joindre ceux tpi'il a professés à l'École Polytechnique, de 1904 à 1908, et ceux qu'il a donnés à l'École professionnelle des Postes et Télégraphes, de 1904 à 1910. Nous entendons fréquemment, avec quelque impatience, émettre des appréciations inexactes sur nos cours de la Sorbonne, el en général sur ceux de nos Universités. Dans les Universités, nous dit-on, on enseigne la science toute faite; c'est ailleurs, au Collège de France, au Muséum, (jue l'on enseigne la science

ÉLOGE IIISTORIOI'R DIIENRI POINCARÉ. X\XV

qui se fait. En admeltant que cette démarcation entre la science qui se fait et celle qui est faite n'ait pas quelque chose de puéril, rien n'est moins juste cjue cette opinion, surtout si on la prend dans son sens le plus littéral. Les cours de nos Universités embrassent toute la science, celle qui est faite et celle qui se fait. Poincaré, comme d'autres profes- seurs que je pourrais citer, ne négligeait certes pas les travaux déjà publiés qui se rapportaient au sujet de ses leçons. Mais ses cours étaient originaux et contenaient toujours une bonne part de ses découvertes personnelles. Et celles de ces découvertes cjui ne pouvaient entrer dans son enseignement de Physique mathématique, il les a exposées dans des Mémoires originaux qui ne le cèdent en rien à ses plus beaux écrits de Mathématicjues pures.

Pourquoi d'ailleurs insister sur cette distinction entre la Physique mathématique et les Mathématiques pures? Les plus grands succès des mathématiciens dans leur domaine propre ne sont-ils pas dus à leur étude des problèmes que leur propose l'expérience? Il convient de rap- peler ici les paroles de l'un de mes illustres prédécesseurs :

L'élude approfondie de la iialiire, a dil Joseph Fourier, esl la source la plus fé- conde des découvertes malliénialli|ues. Non seulement, cette étude, en oITraiit aux recherches un but déterminé, a l'avanlai;e d'exclure les questions vagues et les calculs sans issue; elle est encore un moyen assuré de former l'Analyse elle-même et d'en découvrir les éléments (|u'il importe le plus de connaître et que cette science doit toujours cojiserver. Ces éléments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent dans tnus les effets naturels.

Le développement de l'Analyse moderne a confirmé et mis dans tout leur jour ces idées pénétrantes de Fourier. Le plus illustre émule de Cauchy, Bernhard Riemann, lorsqu'il a voulu pénétrer la nature et les propriétés des fonctions algébriques, a emprunté à la Physiipie niallié- mati(iuc un postulat aïKpiel on peut donner la forme suivante : Elanl donnée une plaque plane homogène, il est loiijouîs possible de Ij-oitver poil}' elle un équilibre de température dans lequel cliaque point du con- tour de la plaque prend une température donnée a priori.

Pour établir cette proposition, qu'un physicien pourrait être tenté de vérifier par l'expérience, Rteinann s'était contenté d'un raisonnement

\\\\l KLOGK lllSTOIIHJLi: ll'llI-MU POINCAItl':.

que Gauss avait employé aiilrofois, (]iie l)iriclileLa\ail admis; c'est pour cela que Hieniann ilomioà son postulai le nom de jtniiçtpc dr Diru-hli'l. Mais l'exaclitnde de sa démonstnilion, ipii devait être complétée plus tard par M. Milbert, fui contestée par plusieurs géomètres, au nombre desquels il faut conq^ter Wcierslrass. Les résultats obtenus par Riemann étaient d'une telle importance que l'on dut s'empresser de chercher une démonstration irréprochable du principe sur le(|uel il s'appuyait. Les recherches des géomètres n'ont pas été infructueuses, et Ton peut, aujourd'hui, faire le cours le plus intéressant en exposant seulement les diverses démonstrations (jui ont été données du principe de Dirichlet. Dans le développement de cette belle question, les travaux de Poincaré tiendront une place des plus importantes. Non seulement, en inventant sa méthode du balayage^ il a donné une démonstration tout à fait origi- nale du principe de Dirichlet ; mais encore il a fait une application des plus intéressantes de ce principe, convenablement élargi, en démontrant, comme nous l'avons rappelé plus haut, que si l'on a une fonction analy- tique quelconque, la fonction et la variable dont elle dépend peuvent être exprimées par des fonctions uniformes d'une variajjle auxiliaiie.

Je viens de parler du |)rincipe de Dirichlet; dans ses éludes d'intérêt fondamental, notre confrère Emile Picard a su l'étendre à des classes entières d'équations, qui apparaissent dans quelques-uns des problèmes les plus essentiels de l'Analyse et de la Physique mathématique. Ici encore, comme dans bien d'autres circonstances, ses travaux se sont trouvés en contact avec ceux d'Henri Poincaré. L'importance du sujet m'engage à entrer dans quelques détails.

Lorsque Lagrange, à l'âge de 18 ans, inventait le Calcul des Varia- tions, il préparait aux géomètres une série de problèmes qui devaient, comme ceux de la Physique mathématique, contribuer jiuissamment au développement de l'Analyse elle-même. Les deux plus simples de ces problèmes, ceux qui se présentaient immédiatement à l'esprit, étaient la détermination du plus court chemin reliant deux points sur une surface et celle de la surface d'aire minima passant par un contour donné. Ces deux belles questions, je n'ai pas besoin de le rappeler, ont donné nais- sance à des recherches de la plus haute signilication. Bornons-nous à la

ÉLOOE IIISTOtllOlR d'iIENBI POINCAnÉ. XXXVII

seconde, qui seule nous inlércsse ici. On sait déterminer en hloc toutes les surfaces d'aire mininia; mais, si l'on veut obtenir en particulier celle d'entre elles qui passe par un contour donné, on se heurte à des diffi- cultés qui n'ont pu èlre levées jusqu'ici que dans des cas très spéciaux. Supposons pourtant que ces difficultés aient été surmontées et que Ton connaisse la surface minima passant par le contour donné. Pour résoudre le problème posé par Lagrange, il faudra rechercher si la surface obtenue a une aire réellement plus petite que toute autre surface infiniment voisine passant par le même contour. Pour les lignes géodésiqucs, le problème correspondant avait été résolu par Jacobi ; mais, pour les surfaces minima, c'est M. M. -A. Schwarz qui, en 188"), dans un admi- rable iMémoire, digne hommage offert à Weierstrass à l'occasion de son 70"^ anniversaire, l'a, le premier, abordé et résolu.

Quand elles sont posées par la nature des choses, les questions les plus diverses en apparence se trouvent liées souvent par des rapports étroits. En même temps que le problème qu'il s'était proposé, M. Schvsarz avait implicitement résolu le suivant : Une membrane, tendue sur une courbe plane, se meta vibrer : déterminer le son fondamental, c'est-à-dire celui qui se produit lorsque la membrane vibrante ne présente ni nœud, ni ligne nodale. M. Emile Picard, qui s'occupait depuis longtemps, nous l'avons déjà dit, de toutes les équations de la Physique mathématique, montra comment on pouvait déterminer le premier harmonique de la membrane, celui qui suit le son fondamental. Poincaré, dans des travaux qui eurent pour couronnement un grand Mémoire Sur les équalions rie la Physique malliérnaliquc, inséré en 1 894 au\ Rendiconii de Païenne, entra à son tour dans la lice et détermina, par une analyse de grande portée, tous les sons que peut rendre la membrane. Son Mémoire est, au jugement de tous, un des plus beanx qu'il ait écrits. Si on le rapproche de celui qu'il publia l'année suivante dans les Acla malheinalica {Lu méthode de Neumaun et le problème de Diricidel), on doit recon- naître que ces beaux travaux ont préparé la mémorable découverte de M. Fredholm, relative aux équations intégrales, en démontrant l'avan- tage qu'il y a à introduire un paramètre Xpar rapport auquel la solution peut s'exprimer par une fonction méromorphe, en mettant en évidence le

XXWIII KLOGK lllSTOUIOl K I)'lIliMlI l'OINCARlL

rôle des foliotions d'îles fondamentales , en periiieltanl pour la première fois le calcul complet de la liaiileur des difft'renls sons émis par une membrane. Notre Confrère a fait connaître aussi plusieurs solutions nouvelles du problème de Dirichlel; il a, le premier, montré la généralité et la véritable signification de la méthode de Neumann. J'ajoute que, dans une Note insérée aux Comptes rendus, il a appliqué cette méthode de Neumann au problème de l'étpiilibre d'un corps élastique et indiqué comment on pourrait obtenir ainsi une solution complète de ce problème.

X.

Les travaux précédents, d'autres encore que je laisse de côté, appar- tiennent à cette partie de la Physique mathématique où le géomètre emprunte au physicien proprement dit des principes, considérés comme rigoureusement vrais, pour en faire les applications que lui suggère son imagination. Cette branche de la Physique mathématique n'est pas très en honneur auprès de certains physiciens de laboratoire.

Je me souviens qu'il y a bien longtemps, l'un d'eux m'interrogeant sur mes travaux, je lui répondis que j'étudiais la belle solution donnée par Lamé pour le problème de la distribution de la chaleur à l'intérieur d'un ellipsoïde. « Eh quoi! me dit-il, vous vous imaginez que, nous autres physiciens, s'il nous prend envie de vérifier les lois de la propagation de la chaleur, nous allons nous amuser à prendre un corps aussi compliqué que votre ellipsoïde. Nous nous en garderons bien. Une bonne plaque parallélépipédique fera bien mieux notre alTaire, et nous peinieltra de nous passer de tous vos calculs. » Je gardai le silence; j'aurais pu toute- fois lui répondre qu'il serait peut-être, à l'avenir, conduit à construire un appareil délicat de Physique dans lequel figurerait un ellipsoïde dont les diverses parties seraient à des températures diflérentes. J'aurais pu lui rappeler aussi l'argument classicpie tiré de la théorie des sections coni(|ues, qui ont été étudiées pendant tant de siècles pour l'amour de l'art, avant d'intervenir dans les lois de Kepler.

Le physicien, dont je viens de parler, était pourtant un excellent esprit qui, dans tous ses travaux, a fait l'usage le plus habile des

ELOGE IIISTOlilnlE II IIENHI POINCARE. XX\I\

méthodes géométriques. 11 comprenait mieux que personne l'utilité qu'il y a pour l'expérimentateur à avoir auprès de lui un mathéma- ticien, un conseiller discret, pour l'aider à interpréter ses expériences et à démêler les résultats, souvent très complexes, qu'elles four- nissent.

Jamais ce rôle de conseiller et de critique n'a pu être plus utile qu'en ce moment où la Physique expérimentale traverse une crise profonde dans laquelle viennent sombrer les principes qui paraissaient le mieux établis. Nous sommes loin des atomes insécables d'l'>picure et de Lucrèce; et nos théories modernes n'ont rien trouvé de mieux que de faire de l'atome un univers semblable à celui qui a été décrit par Newton ('). Dans cette période de transition, gardons-nous d'être trop exigeants. Sans aller peut-être aussi loin que Poincaré, qui considérait les hypo- thèses comme des outils et admettait volontiers des théories contradic- toires, ne renouvelons pas l'erreur qu'ont commise quelques-uns de nos grands chimistes, en rejetant, sous prétexte qu'elle contenait des lacunes,

(') Ces théories nous rappellent invinciblement le célèbre passage des Pensées de Pascal : Qu'est-ce qu'un homme dans l'infini? Mais, pour lui présenter un autre prodige aussi étonnant, qu'il recherche dans ce qu'il connaît les choses les plus délicates. Qu'un ciron lui ofire, dans la petitesse de son corps, des parties incom- parablement plus petites, des jambes avec des jointures, des veines dans ces jambes, du sang dans ces veines, des humeurs dans ce sang, des gouttes dans ces humeurs, des vapeurs dans ces gouttes; que, divisant encore ces dernières choses, il épuise ses forces en ces conceptions, et que le dernier objet où il peut arriver soit maintenant celui de notre discours; il pensera peut-èlre que c'est là l'extrême petitesse de la nature. Je veux lui faire voir là-dedans un abime nouveau. Je lui veux peindre, non seulenieut l'univers visible, mais l'iniraensilé qu'on peut conce- voir de la nature, dans l'enceinte de ce raccourci d'atome. Qu'il y voie une infinité dunlvers, dont chacun a soii firmament, ses planètes, sa terre, en la même propor- tion que le monde visible; dans cette terre, des animaux, et enfin des cirons, dans lesquels il retrouvera ce que les premieis ont donné; et trouvant encore dans les autres la même chose, sans fin et sans repos; qu'il se perde dans ces merveilles, aussi étonnantes dans leur petitesse que les autres par leur étendue; car qui n'admi- rera que noire corps, qui tantôt n'était pas perceptible dans l'ujiivers, imperceptible lui-même dans le sein du tout, soit à présent un colosse, un monde, ou plutôt un tout, à l'égard du néant où l'on ne peut arriver.

XL KLOGE IllSTOIlIQrE d'hENRI POINCARÉ.

cette théorie atomique qui a transformé la Cliimie moderne. Voilà une faute que Poincaré n'aurait jamais commise; car nul, à ma connaissance, n"a eu plus d'ouverture d'esprit, plus de propension à accueillir et à dis- cuter les idées nouvelles, plus de désir de mettre en évidence la part qu'elles contiennent de vérité, le rôle utile qu'elles peuvent jouer dans ledéveloppoiuent de nos connaissances. C'est ce que va montrer d'ailleurs une revision rapide de ses principaux travaux.

Ses cours d'abord : Electricité cl Optique, les Oscillations électriques et les autres ^"olumes, contiennent la discussion et la mise au point des théories de Maxwell, de Hertz, deLarmor, de Lorentz. Dans la Thermo- dynamique^ il donne deux démonstrations difTérenles du théorème de Clausius, relatif aux cycles non réversibles, dont la généralité était alors contestée par Joseph Bertrand. On doit signaler aussi, dansla Théorie de la propagation de la Chaleur, plusieurs méthodes nouvelles pour les développements en séries de fonctions fondamentales.

Dans un de ses plus beaux Mémoires, inséré aux Acta matlicrnatica, sur la polarisation par dilTraction, Poincaré interprète certaines expé- riences de notre Confrère, M. Gouy. T^a théorie de Fresnel est, comme on sait, purement géométrique; je veux dire que, si elle était rigoureuse, la nature des parois et même l'épaisseur des écrans ne devraient exercer aucune influence sur les phénomènes. Les expériences de notre Confrère avaient montré qu'il n'en était pas toujours ainsi. Poincaré donne l'expli- cation des faits observés par M. Gouy et montre combien, dans certains cas, la théoiie de Fresnel devient insuffisante. M. Sommerfeld a repris depuis la méthode d'Henri Poincaré pour étudier tous les cas intermé- diaires entre les deux extrêmes : celui de Fresnel, qui est le plus ordinaire, et celui de M. Gouy.

Il y a lieu de rappeler aussi les travaux sur les Ondes hertziennes que Poincaré a publiés dans les Archives de Genève. On avait d'abord com- paré les ondes hertziennes aux ondes sonores ou lumineuses qui ne sont pas amorties. Les prévisions auxquelles on a été ainsi conduit n'ont pas été confirmées par l'expérience, et ces contradictions ont paru un moment fort embarrassantes. Signalons, par exemple, le phénomène de la réso- nance multiple, découvert par MM. Sarazin et de la Rive. Poincaré, le

KLOGE HISTORIQUE DIIENRI POINCARÉ. Xlt

premier, a montré que ces contradictions s'expliquaient par Tamortis- semenl des ondes. Le rôle de cet amortissement est d'ailleurs capital dans la théorie de la télégraphie sans fil.

Citons encore, à propos des ondes hertziennes, une Note des Comptes rendus où, l'un des premiers tout au moins, notre Confrère a introduit la notion An potentiel relardé.

Les Conférences cpi'il a données à l'École de Télégraphie nous mon- trent également combien il se tenaitprès de l'expérience, et quels services il a rendus aux praticiens.

L'équation, dite des télégraphistes, nous fait connaître, comme on sait, les lois de la jjrnpagalion d'une perturlialion électrique dans un lil. Poincaré intègre cette équation par une méthode générale qui peut s'ap- pliquer à un grand nombre de questions analogues. Le résultat vaiie suivant la nature du récepteur placé sur la ligne, ce qui se traduit mathé- matiquement par un changement dans les équations aux limites, mais la même méthode permet de traiter tous les cas.

Dans une seconde série de Conférences, Poincaré a étudié le récepteur téléphonique; un point qu'il a mis jiarticulièrement en évidence, c'est le rôle des courants de Foucault clans la masse de l'aimant.

Enfin, dans une troisième série de Conférences, il a traité les diverses questions mathématiques relatives à la télégraphie sans fil : émission, ciiamp en un point éloigné ou rapproché, diffraction, réception,' réso- nance, ondes dii'igées, ondes entretenues (').

Le cours que notre Confrère avait fait en 1893 sur la théorie cinétique des gaz n'a pas été publié; mais il a écrit, dans la Revue générale des Sciences du regretté Louis Olivier et dans le Journal de Pliysique, plusieurs Articles de haut intérêt sur ce sujet. Il y examine et y réfute certaines objections (jue Lord Kelvin avait faites au théorème de Boltz- rnann-Maxwell et cherche à concilier cette théorie avec l'irréversibilité des phénomènes, ce qui est la grande difficulté. Pour éclaircir la question, il examine ce qui se passe dans différentes hypothèses plus ou moins

(') Ces Conférences ont été publiées dans la collection des cours de l'Iicole et dans la revue L' Ectairage électrique.

W. P. - II. /

Xl.ll i:i,0(iK UIST01Ul.)l K n'ilEMlI POlNCAnK.

éloignées du cas de la nature, telles que le serait un gaz à une dimension, ou un gaz très raréfié.

Dans un Mémoire Sn/' la lliéorn' de Lorciilz cl le principe de réac- tion {*), Poincaré eut à examiner diverses conséquences de cette théorie; il a uiKUlré ciiTellc est incompatibleavec le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, et coinnienl il conviendrait de modifier ce principe pour le mettre d'accord avec cette théorie. Ce résultat a servi de point de départ à M. Abraham pour le calcul 'par lequel il a démontré que la masse des électrons est d'origine électrodynamique et que leur masse transversale dilTère de leur masse longitudinale.

Il a également publié, dans les Rendiconti àe Palerme, un Mémoire Sur la dynamique de réleclron, où il a réussi à donner à la théorie de Lorenlz une parfaite cohérence, en écartant les dernières difficultés.

Dans quelques Articles insérés à V Eclaii-age éleclriquc^ notre Confrère a abordé diverses questions d'Electrotechnique; il a mis en évidence le rôle des contacts glissants dans les phénomènes dits « d'induction unipolaire », sur lesquels les techniciens discutaient à perte de vue; il a montré que la théorie ordinaire de la Commutation était inexacte; d'un autre côté, il a établi rigoureusement, et d'une manière générale, l'impossibilité d'une machine auto-excitatrice sans collecteur et sans condensateur.

J'arrête là cette énumération, quelque incomplète qu'elle puisse être; mais je ne saurais oublier que Poincaré, en même temps qu'il publiait les Mémoires originaux dont je viens de signaler les plus importants, les accompagnait de Conférences, d'Articles de vulgarisation destinés à faire connaître les conclusions de ses études. Je reviendrai plus loin sur les Conférences; mais je me reprocherais d'oublier un résultat auquel notre Confrère ajoutait quelque prix. Notre regretté Secrétaire perpétuel, Henri Becquerel, qui nous a été si prématurément enlevé, se plaisait à répéter que, s'il avait entrepris les travaux qui lui ont valu l'honneur d'être laur<''al du piiv Nobel, et qui ont ouvert aux physiciens tout un

( ') Ce Mémoire fait partie du Recueil de Travaux offert à AI. Lorenlz à rocca- sion du 25" an/iiversaire de son doctoral.

ELOGE HISTORIQUE D HENRI POINCARE. XLIII

ordre de recherches appelé à transformer complètement notre connais- sance de la Nature, c'est à la suite de la lecture d'un Article de la Revue générale des Sciences, où Poincaré se demandait s'il n'y aurait pas un lien entre la phosphorescence et les rayons X et s'il ne conviendrait pas de faire des expériences sur les corps fluorescents ( ' ).

XI.

Jusqu'à la fin de sa vie, notre Confrère a poursuivi, sans se lasser, ce rôle de directeur et de conseiller qu'il avait assumé en Physique théo- rique. Un de ses derniers Articles, daté de janvier 1912, est consacré à la théorie des Qua/i/a, cette originale conception de M.Planck, quinous éloigne si profondément de toutes celles auxquelles nous étions habitués. Et cependant, malgré leur nombre et leur étendue, ces recherches de Physique ne suffisaient pas à l'occuper tout entier. Elles lui laissaient des loisirs, parait-il; car, entre temps, il publiait les travaux les plus variés sur les diverses branches de l'Analyse : par exemple, sur l'intégration algébrique des équations différentielles, sur les nombres complexes, sur la distribution des nombres premiers. II n'a pas consacré moins de six Mémoires à ce qu'il appelait V Analysis silus ou Géomélriede situation. C'est une branche très difficile delà science mathématique, où l'on étudie les relations qui subsistent dans une figure lorsqu'on la déforme d'une manière quelconque sans lui imposer ni déchirure ni duplicature. On sait le magnifique usage que Riemann a fait de V Analysis situs dans ses travaux sur les fonctions algébriques. Poincaré, qui y avait été conduit par ses études sur l'intégration qualitative des équations différentielles,

(') Cet Article est du 3o janvier i8gG. V'oici le passage auquel on fail allusion :

« Ainsi c'est le verre qui émet les rayons Rontgen et il les émet en devenant fluorescent. Ne peut-on alors se demander si tous les corps dont la fluorescence est suffisamment intense n'émettent pas, outre les rayons lumineux, des rayons X de Rônlgen, quelle que soit la cause de leur fluorescence? Les phénomènes ne seraient plus liés à une cause électrique. Cela n'est pas probable, mais cela est possible, et sans doute assez facile à vérifier. »

\l.l\ KLOliE IIISTOIUOI E I)'|I1:M1I POINCARK.

lui portail, si j'oso diii', une alTeclioii parliciilière; elle joue d'ailleurs un grand rôle dans ses études philosophiques, comme dans un grand nombre de ses travaux mathématiques.

A ces recherches déjà si nombreuses, notre Confrère trouvait moyen d'en ajouter d'au très encore; à partir de 1890, il s'attacha aussi à reprendre et à développer les découvertes de Mécanique céleste qui lui avaient valu de si éclatants succès. C'est ainsi qu'il publia, en 1892 et 1893, les doux premiers ^ olumes de son grand Ouvrage : Les Mclhodes /tomclles de la Mécanique céleste. Lorsque la mort prématurée de notre ami commun, Félix Tisseranil, laissa vacante en 1896 la Chaire à''A.stroiionue nialhéi)Htli(jueh la Sorbonne, j'avais l'honneur d'être doyen de la Faculté des Sciences. Au nom de tous mes collègues, je demandai à Poincaréde laisser sa Chaire de Physique mathématique à notre Confrère Boussinesq, qui devait l'occuper avec éclat, et de prendre celle de Tisserand, pour laquelle nous n'avions personne qui pût lui être comparé. Il consentit sans s.e faire prier. Je l'ai dit ailleurs, et je suis heureux de le redire ici, aveclui. on navait jamais de difficulté. Je nai jamais reçu de lui ni plainte, ni réclamation d'aucune sorte; s'il s'agissait de rendre service à un collègue, il était toujours prêt. Dans sa nouvelle Chaire, il acheva son grand (Juvrage sur les Mclhodes nomelles de la Mécanique céleste, dont il publia le troisième Volume en 1899. Mais il en avait déjà com- mencé un autre, plus pratique : \es Leçons de Mécanique céleste, en trois Volumes, qui parurent de 1900 à 1910. Enfin, il laissa publier par ses élèves deux Cours de haut intérêt : l'un, Sur les figures d'équilibre cVunc masse fluide ; l'autre. Sur les liypotJièses cosmogonicpies. Il faut que nous disions quelques mots de chacun de ces Volumes.

Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste sont le développe- ment du Mémoire couronné de 1889. Suivant le jugement que nous avons déjà rapf)orté de Weierstrass, cet (Juvrage ouvre une ère nou- velle dans la Mécanique céleste. Il mérite d'être placé à côté de la Précession des Equinoxes de d'Alembert, de la Mécanique céleste de Laplace. On ne pourrait en faire l'analyse détaillée que devant des hommes du métier. Je vais pourtant essayer d'indiquer quelles armes nouvelles Poincaré a forgées pour les géomètres.

ÉLOGE HISTORIQIE d'iIENRI POIN'CARÉ. XLV

Jacobi, suivantia voie ouverte en Mécanique analytique par Lagrange, dont on ne louera jamais assez les immortels travaux, avait constitué une théorie qui paraissait un des Chapitres les plus achevés de la Dyna- mique. Pendant 5o ans, nous avons vécu sur les théorèmes de l'illustre géomètre allemand, en les appliquant et les étudiant sous toutes leurs faces, mais sans rien leur ajouter d'essentiel. C'est Poincaré qui, le premier, a brisé ces cadres rigides dans lesquels la théorie paraissait enfermée et lui a ménagé des échappées de vue, de nouvelles fenêtres sur le monde extérieur. Il introduit ou utilise, dans l'étude des problèmes de Dynamique, diflerentes notions : l'une, qui avait été donnée antérieure- ment et qui, d'ailleurs, ne s'applique pas seulement à la Mécanique, celle des équations aux variations^ c'est-à-dire des équations différentielles linéaires qui déterminent les solutions du problème infiniment voisines d'une solution donnée; l'autre, celle des invariants intégraux^ qui lui appartient entièrement et joue dans ces recherches un rôle capital ( ' ). A ces notions fondamentales viennent s'en ajouter d'autres, notamment celles qui concernent les solutions, dites « périodiques », pour lesquelles les corps dont on étudie le mouvement reprennent, au bout dun certain temps, leurs positions. et leurs vitesses relatives.

Ce qui nous rend ce> solutions si précieuses, nous dit Poincaré, c'est qu'elles sont, pour ainsi dire, la seule brèche par où nous puissions pénétrer dans une place jusqu'ici réputée inabordable.

Lagrange nous avait déjà fait connaître, pour le problème des trois corps, une solution de ce genre, dans laquelle le triangle formé parles trois corps demeure toujours semblable à lui-même, et celte solution avait été étudiée par Laplace au Livre X de la Mécanique céleste. Un astronome américain de grande valeur, M. Hill, en avait signalé une autre qui a une plus grande importance pratique, puisqu'elle s'applique au système formé par le Soleil, la Terre et la Lune (-). Poincaré démontre

(') Liou ville et Boltzmann avaient déjà reconnu l'existence d"uu invariant intégral pailiculier. mais sans s'élever à aucune théorie générale. (-) American Journal of Malhematics, l. I.

XLVI KI.OGE IIISrORIOl'E d'hENUI POINnARÉ.

l'existence de trois sortes dilTorentes de solutions périodicjucs qui lui servent, en quelque sorte, de levier pour l'élude approfondie du problème. Il y a là quelque chose d'analogue à la célèbre méthode de variation des constantes. Seulement ici, au lieu d'opérer sur des constantes, ce sont des solutions particulières que l'on prend comme point de départ.

Parmi les propositions obtenues par Poincaré, il convient d'en signa- ler une qui mettra fin à des tentatives sans cesse répétées : // n'existe. pour le prol'lème des trois corps aucune autre intégrale analytique que celles, au nombre de lo, qui, dès le début, ont été obtenues par les géomètres.

XII.

Dans rinlroduction de l'Ouvrage que nous venons d'analyser, Poin- caré avait admirablement défini le but qu'il voulait atteindre :

Le véritable but de la Mécanique céleste, nous dit-il, n'est pas de calculer les éphémérides, car on pourrait alors se contenter d'une prévision à brève échéance, mais de reconnaître si la loi de Newton est suffisante pour expliquer tous les phé- nomènes.

Dans son second Ouvrage, les Leçons de Mécanique céleste, il se rapproche du point de vue qui convient à l'astronome praticien. Ces Leçons ne sont autre chose que le développement, rédigé par lui-même pour les deux premiers Volumes, de ses cours delà Sorbonne. On y remar- quera surtout un exposé magistral de la théorie des perturbations et des recherches les plus modernes relatives au mouvement, si difficile à disci- pliner, de notre satellite. J'insisterai plus particulièrement sur le Tome m, qui a été rédigé par M. E. Fichot, ingénieur hydrographe de la Marine, et qui est consacré tout entier à la théorie si difficile des marées. Poincaré la reprend par des méthodes nouvelles; il compare ses résultats aux observations et termine par un Chapitre très original où il étudie, après G. Darwin, Finfluence des marées sur le sens et la durée de rotation des corps célestes. Cette discussion est de grande conséquence, notamment dans l'examen de certaines parties de la célèbre hypothèse cosmogonique de Laplace. On a aussi à tenir compte des indications qu'elle fournit, si

ÉLOGE HISTORIQUE DIIENBI POINCARÉ. XLVII

l'on veut étudier l'importante question de la stabilité du système solaire. Lagrange, Laplace, Poisson avaient envisagé ce problème en purs mathé- maticiens : ils supposaient que les astres fussent réduits à des points, se déplaçant dans un milieu vide de toute matière. Poincaré, qui compre- nait mieux que personne l'intérêt philosophique de cette belle recherche, s'en est occupé toute sa vie; mais il a reconnu que, pour résoudre le problème de la stabilité, tel que l'Univers nous le présente, il fautse placer au point de vue du physicien et tenir compte de bien des éléments qu'avaient négligés les géomètres. Dans cette discussion,- Delaunay l'a montré le premier, l'influence des marées produites par les actions mutuelles des corps célestes joue un rôle prépondérant. On pourra lire là-dessus une Notice des plus intéressantes, insérée en 1898 par notre Confrère dans V Annuaire du Bureau des Longitudes.

Ce travail sur les marées me suggère une remarque singulière, qui mettra toutefois en évidence l'universalité des aptitudes de notre Con- frère. Notre division mathématique comprend, comme vous le savez, cinq sections : Géométrie, Mécanique, Astronomie, Physique, Géogra- phie et Navigation. Il avait auparavant tous les titres pour iigurer dans les quatre premières. Son travail sur les marées venait lui donner des droits à entrer dans la cinquième.

XIII.

Les leçons sur les figures d' équilibre dhtne masse /laide, que Poin- caré a professées en 1900 et qui ont été rédigées par M. L. Dreyfus, contiennent l'exposé des recherches qu'il avait commencées quinze ans auparavant sur l'équilibre d'une masse fluide, animée d'un mouvement uniforme de rotation autour d'un axe, et dont les molécules s'attirent mutuellement suivant la loi de Newton. Parmi toutes les découvertes de Poincaré, celles qui se rapportent à cette belle question sont peut-être les plus populaires. Elles l'ont conduit, en effet, à des résultats précis, définitifs, bien propres à exciter l'admiration de tous ceux, et ils sont nombreux, qui s'intéressent à l'Astronomie.

Le problème était posé depuis Newton. On est conduit à en chercher

M.vm Ki.oGi; nisroiiioi e ii'ukmu I'OINCaké.

la solution lors(nr()ii vcul ilélciiuiiierla forme des planètes, en admettant, comme ou peut le supposer, qu'elles aient été fluides primitivement. Maciaurin avait montré, comme on sait, tju'une masse fluide homogène peut rester en équilibre si sa forme est celle d'un ellipsoïdede révolution; et ce résultat avait été complété par Clairaut, puis par d'Alembert et Laplace, qui montrèrent qu'à toute vitesse de rotation, pourvu qu'elle ne dépasse pas une certaine limite, correspondent deux ellipsoïdes de cette nature, et deux seulement. Lagrange, dans sa Mécaiiifji/c anolv- tiquc, commence celle recherche en supposant que la forme d'équilibre soit celle dun ellipsoïde à trois axes inégaux ; mais au cours de son analyse, un raisonnement, dont il a dû lui-même reconnaître l'insuffisance, le conduit à se restreindre au cas où l'ellipsoïde est de révolution.

Un de ses continuateurs, M. de Pontécoulanl, en reprenant, dans son Exposition du Svslciiie du inonde, l'analyse de Lagrange, avait précisé beaucoup trop et déclaré nettement que l'ellipsoïde doit être nécessaire- ment de révolution. Cette affirmation trop tranchante éveilla rallention de l'illustre Jacobi. Celui-ci, (pii était animé de l'esprit de contradiction si utile aux chercheurs, voulut étudier Ihypothèse écartée et constata, à son grand élonnement, que l'ellipsoïde ta trois axes inégaux pouvait donner une solution du problème étudié.

Pendant longtemps, nos connaissances sur ce sujet se bornèrent à celle des deux figures ellipsoïdales dont nous venons de parler, sans qu'on sût rien d'ailleurs sur les conditions de stabilité de ces ellipsoïdes. On ignorait s'il y avait d'autres formes possibles, lorsque M. Mathiessen en i8jg et, plus tard, MM. Thomson et Tait, dans la deuxième édition de leur Traité de Pliiiosoplm' nalurellr^ indiquèrent qu'aux figures déjà connues on pouvait en ajouter de nouvelles, d'une forme analogue à celle d'un tore.

Tel était l'état de la question lorsque Poincaré s'en occupa en i885 pour lui faire faire un progrès décisif. Sa méthode et ses résultats sont d'une extrême élégance. Voici comment il les a résumés lui-même ( ') :

( ' ) La oitalioii (|ui suit est eniprunlée à l'Ouviage posllmnie qui a été piil) lié celle année même par les soins de noire savant Coriespomlanl, AI. Miltag-Lefller. et qui

ÉLOGE HlSTOniQrK DHKNKl POIXCARE. \I.1X

On reconnaiL d'abord (|ue les diverses figures d'équilibre d'une niasse lluide forment des séries linéaires; dans une même série, ces figures dépendent d'un para- mètre variable. Telles sont la série des ellipsoïdes de révolution el celle des ellip- soïdes de Jacobi. Mais il peut arriver qu'une même figure appartienne à la fois à deux séries dillerentes. C'est alors une /iff are d'é(]uilil>re de bifurcadon.

A chaque fiirure est attachée une suite inlinie de coefficients que j'appelle coefficients de slnbUilé, parce que la condition de la stabilité, c'est qu'ils soient tous positifs. Quand un de ces coefficients s'annule, c'est que la figure correspon- dante est de bifurcation.

Ainsi, si, en suivant une série de figures d'équilibre, on voit s'annuler un des coefficients de stabilité, on saura qu'il existe une autre série de formes d'équilibre à laquelle appartient la figure de Ijifurcalioji.

Mn autre résultat, c'est que les deux séries linéaires, dont cette figure fait partie, échangent leur stabilité. Si, en sui\ ant l'une des séries, on ne rencontre que des équi- libres stables jusqu'à la figure de bifurcation, on n'v trouvera plus ensuite que des

est intitulé : Henri PoiîscahÉ, Analyse de ses Irm'aux scienli/ii/aes. \ oici quelques renseignements sur la genèse de cet Ouvrage.

La Notice que Poincaré a consacrée à Halphen, une des plus belles et des plus touchantes qu'il ;iit éciites, se termine par les lignes suivantes :

a. Les Notices scientifiques ([ue |)ul)lieut les candidats à l'Académie ne sont d'ordi- naire que de sèches noruenclatures, et les Académiciens ne les lisent que par devoir. Celle d'Halphen, je ne crains pas de le dire, est écrite avec autant d'esjjrit ((ue de logique, et sa lecture a été un plaisir, même pour les savants adonnés à des études très différentes. »

Ces éloges que Poincaié donne ici à Halphen sont certes bien mérités. Mais c'est à lui-même qu'il aurait dû aussi les adresser. Car c'est lui, mes souvenirs sur ce point sont bien précis, qui a pris, dès i884, l'initiative de faire précéder la liste de ses travaux, d'aperçus généraux sur leur classification et sur le but ménie qu'il avait voulu atteindre. L'exemple qu'il avait donné a été suivi par Halphen, et par d'autres encore.

H y a une dizaine d'années, ^L .Mittag-Leffier avait eu l'idée de demander à (]uelques savants des Notices écrites par eux-mêmes sur leurs travaux et sur les idées générales qui les avaient guidés dans leurs recherches. Poincaré répondit à l'appel qui lui était ainsi adressé en remaniant son ancienne Notice de candidature, et c'est son manuscrit qu'a publié M. Mittag-Lefller. Ce sera un précieux document pour l'Histoire des Sciences.

H. F. - II. £■

L KLOl.E IIISTOHUJLK 11 llliMU l'OlNCMlK.

ligures instables. Les figures slaliU'> ;i|i|iarlleii(li uni à lanlre série. Ces principes, appliqués à divers problonies Iraitos par La|)hice, mont pernus d'en compléter la solution.

Je ne puis niieu\ résumer tous ces résultats qu'en faisant riivpolhèse suivante :

Imaginons une niasse Ihiide se contractant par refroidissement, mais assez lente- ment jiour rester homogène et pour que la rotation soit la même dans toutes ses parties.

Daboi d très voisine d'une sphère, la ligii re de cette masse deviendra un ellipsoïde de révolution ipii s'aplatira de plus en plus, puis, à un certain moment, se trans- formera en un ellipsoïde à trois axes inégaux. Plus tard, la figure cessera d'être ellipsoïdale et deviendra piriforme jusqu'à ce qu'enfin la masse, se creu- sant de plus en jjIus dans sa partie médiane, se scinde en deux corps distincts et inégairx (' ).

L'hj'pothèse précédente ne peut certainement s'appli(|uer au svstème solaire. Quelques astronomes ont pensé qu'elle pourrait être vraie pour certaines étoiles doubles et que des étoiles doubles dir t^pe de |3 de la L} re ])réseuleraient des formes de transition analogues à celles dont nou-» venons de parler-.

Dans un de mes Mémoires, j'ai montré qu'aucune forme d'équilibre stable n'est possible si la vitesse de rotation dépasse une certaine limite.

On |)eut faire de ce |)rinclpe une application aux anneaux de Salurrie. Clerk -Maxwell a démontré que ces anneaux ne peuvent être solides, et que, s'rls sont lluides, lerrr densité ne peut dépasser y|^ de celle de la planète. D'autre part, je démontre que, si les anneaux sont lluides, ils ne peuvent être stables que si leur densité est supérierrre au ^'|j de celle de Saturne. L'analvse semlile donc confirmer rhypothèse de M. Troiivelot, qui considère les anneaux comme formés d'une mul- titude de satellites extrêmement petits et ne croit pas pouvoir expli(|uer aiiliemenl certaines apparences observées.

XIV.

Pour lei'iniiiof celle analyse des tiavaux astroiioiiii(jiies de Poincaré, je dois encore parler de ses Leçons sur les liypolltèses cosmog<jniqucs laites à la Sorbonne en 1910, recueillies par M. 11. Vergne el parvenues déjà à leur seconde édition. De tout temps, riiomiiie s'e^l préoccupé de ses ori}2;ines et (Je celles du inonde f)îi il est [)lacé. Son besoin de savoir

(') L'rrn d'eux se rapproche de plus en plus d'une sphère, l'autre s'allonge en forme de ))ointe.

ELOGE IIISTORIOIE II HENRI POINCABE. U

est impérieux, et lorsqu'il ne peut parvenir à une connaissance certaine par la méthode scientifique, il s'élance en quelque forte vers la vérité, il essaye de la deviner, il imagine des liypotlièses plus ou moins plausibles pour pénétrer dans le domaine qu'il ne peut conquérir par des procédés réguliers. C'est ce qui explique le succès cju'ont toujours obtenu auprès de la foule les conjectures sur la manière dont l'Univers a été formé. Le rôle du savant, quand il aborde ce genre de considérations, consiste à examiner les théories, proposées souvent par des rêveurs; à rechercher jusqu'à quel point elles sont d'accord avec leslois de la Mécanique géné- rale; à essayer, s'il se peut, de les modifier de manière à établir cet accord. Tel est le point de vue auquel se place Poincaré.

Parmi les hypothèses sans nouibre qui ont été successivement présen- tées, il faut placer au premier. rang celle que Laplace a fait connaître, dès i79(J, dans VE.rposilioii du Système du l/o/^t/e. Poincaré en discute tous les points avec une pénétration et une précision admirables, en s'aidant des résultats qu'il a obtenus dans la théorie des figures d'équi- libre et dans celle des marées. Malgré quelques difficultés, Ihypolhèse de Laplace demeure victorieuse; elle s'imposerait même, dans ses grandes lignes tout au uioins, si notre système solaire constituait à lui seul tout l'Lriivers. Mais depuis Laplace, nos connaissances astronomiques se sont prodigieusement agrandies. De son temps, une étoile dans le ciel n'était qu'un point sur la sphère céleste; ses deux cooidonnées, et sa parallaxe quand on pouvait la déterminer, c'est-à-dire trois constantes au plus pour chaque astre, voilà tout ce que nous donnait l'observation. C'était l'époque de l'Astronomie mathématique, qui a permis tout de même de belles découvertes et qui a pu nous renseigner notamment sur le dépla- cement propre de notre système solaire. Mais aujourd'hui, grâce à l'Analyse spectrale, ce ne sont plus deux ou trois constantes, c'est toute une fonction définissant ie spectre de l'étoile, C|ue nous permet d'atteindre l'observation. A côlé de l'Astronomie de position est venue se placer l'Astronomie physique, qui nous donne les renseignements les plus précieux sur la constitution chimi(jue, la composition minéralogique des étoiles et des nébuleuses ; sur les étoiles multiples, colorées et variables ; sur leur déplacement dans le ciel, sur leurs mouvements en profondeur.

LU Éi.ocK iiisToiti(,n i: Il iiknui poincariî.

ÎVous sommes au début seulement de ces études si iittrayantes, et déjà les résultats ohlemis ont suseité des hypothèses cosmofi^oniques, présentées par une foule desavants : Helmhoitz, Lord Kelvin, Sir Norman Lockyer, Schuster, Arrhenius, Kapteyn, Sée, Schiaparelli. Toute conclusion serait prématurée, et Poincaré n'en donne aucune; mais il fallait un savant tel (jue lui pour suivre, avec autantdepénétration, ces discussions qui exigent la réunion des connaissances du géomètre, du physicien et même du géologue.

XV.

J'arrêterai là, mes chers Confrères, l'analyse bien sommaire ([ue j'ai pu vous faire des travaux que Poincaré a publiés en Mathématiques pures, en Physique, en Astronomie. Ces travaux présentent une telle variété que, lorsque l'on consulte les tables de nos Comptes rendus pendant les trente dernières années, on est tenté de lui attribuer ceux même que son père, son oncle et son cousin présentaient en même temps que lui. Si je voulais être complet, il me resterait, après avoir essayé de vous faire connaître le savant, à vous présenter le philosophe. Mais je ne dois pas oublier que notre Confrère appartenait aussi à la première de nos Académies, que l'étendue de son œuvre mérite plus d'un commen- tateur, et je me suis promis de me limiter à ce qui ne peut être dit que devant notre (Compagnie. Sans manquer à ce dessein, je vais vous indi- quer comment il fut conduit à sa Métaphysique par les études qu'il entreprit sur la Géométrie non euclidienne, lorsqu'il eut à créer sa magistrale théorie des fonctions fuchsiennes.

Ce monument qu'on appelle les « i'iléments d'Eiiclide », et qui a résisté au travail de tant de siècles, ne ressemblait pas à ces édilices où une simple couche de stuc recouvre et dissimule des matériaux inférieurs. 11 était si bien, et je dirai si loyalement construit, que chacun pouvait l'étudier dans tontes ses parties et foiinulcr toutes les criti([ues que suggé- rait son examen. iJ'Alembert se plaisait à dire fjue la définition de la ligne droite donnée par l'Aulide (''tait l'êcueil et le scandale de la Géo- métrie. Les plus grands géomètres se sont att:upi(''s suitoiil au célèbre

ÉLOGE HISTOIUQIE DIIENRI POINCABÉ. LUI

postulatum d'Euclide relatif à la théorie des parallèles, pour essayer de le démontrer. On n'ignore pas les tentatives infructueuses de Legendre; on connaît moins celles de Lagrange, mais Biot nous donne à leur égard le renseignement suivant (') :

Ligrange, tlit-il, liia un jour de sa poclie un papier qu'il lut à l'Académie et qui contenait une démonstration du fameux postulatum d'Euclide relatif à la théorie des parallèles. <-ette démonslialion reposait sur un paralogisme évident, qui parut tel à tout le monde, et probablement Lagrange le reconnut pendant sa lecture; car, lorsqu'il eut fini, il mit le papier dans sa poche et n'en parla plus. Un instant de silence universel suivit, et l'on passa à d'autres sujets.

Ce passage de Biot, un autre de Laplacedans VExposiliott du Système du Monde, nous montrent (pi'au commencement du siècle dernier les géomètres français croyaient à la possibilité d'une démonstration du fameux postulatum d'Euclide. Il n'y avait à cette époque en Europe que l'illustre Gauss, qui fi'il en possession de la vérité. Ses méditations l'avaient conduit à cette conclusion qu'en supprimant le postulatum d'Euclide et conservant les autres axiomes, on est conduit à une géo- métrie qui peut se développer indéfiniment sans présenter de contradic- tion. Gauss n'a rien publié de ses idées; mais elles devaient être retrouvées d'une manière indépendante, et presque simultanément, vers i8jo, par deux géomètres d'origine bien différente, le Russe Lobatschefsky et le Hongrois Bolyai. Kiemann devait venir plus tard créer une géométrie nouvelle, à côté de celle d'Euclide et de Gauss. 11 a eu de nombreux imitateurs, et nous comptons aujourd'hui une foule de géométries différentes, tout aussi cohérentes les unes que les autres. Ces découvertes des géomètres ont beaucoup contribué à former, je n'ose dire, à rectifier les théories des philosophes relatives à l'origine et à la formation de nos connaissances. Mais au temps de ma jeunesse, elles étaient encore combattues et contestées. Un savant modeste, Jules Hoiiel, dont lainilié m'honora et dont je conserve précieusement le souvenir, a beaucoup contribué à les faire connaître et à les répandre dans notre

(') Biot, Mélanges scienti/ifjues et liliéraires, t. II, p. 263.

LIV ÉLOGE IMSTORIOnC u'iirMU PdlNCAUÉ.

pays. D'autre paît, Belli'aiiii. ipii les introdiiisil ni Italie, où elles avaient trouvé un précurseur clans la personne de Saccheri qui vivait au wuf siècle, mais où elles rencontraient beaucoup de contradicteurs, essaya de répondre aux objections en montrant une surface, la pseudo- sphèrr, où la Géométrie non euclidienne se trouve en quelque sorte réalisée |iar les propriétés des géodésiqucs. La réponse n'était pas topique; car la surface de Beltrami a des limites et, en Géométrie non euclidienne, le plan et la ligne droite n'en ont pas.

(]'est M. Fi'lix Iviein qui fit disparaître ces objections en mon- trant, dans un beau Mémoire, (pi'une géométrie inventée par l'illustre Cayley, et dans laquelle c'est une conique, appelée l'absolu, qui fournit les éléments de toutes les mesures et permet, en particulier, de définir la distance de deux points, donne la représentation la plus parfaite, la plus adéquate, de la Géométrie non euclidienne.

D'autre part, une transformation des plus simples, connue depuis 18G4, permet de transformer la Géométrie de Cayley en une autre dans laquelle les lignes droites sont remplacées par des cercles normaux à une spiière fixe ('). C'est celte Géométrie qu'adopta Poincaré dans ses études philosophiques et dans ses travaux sur les fonctions fuchsiennes. Il sut lui donner la forme la plus saisissante, qu'on nous saura gré de reproduire.

Supposons, dil-il, lin monde renfermé dans une i;rande splièreel soumis aux lois suivantes :

La lempératuie n'y est pas nnlfornie; elle est niaxima an cenlie et elle diminne à mesure qu'on s'en éloigne, pour se réduire au zéro absolu quand on atteint la sphère où ce monde est renfermé.

Je précise davantage la loi suivant laquelle varie cette température. Soit 1^ le rayon de la sphère linjite; soil /• la dislance du point considéré au centre de cette sphère. La température absolue sera proportionnelle à H- — /-.

( ' ) ioir la Iradui'tion allemande du premier (Jn\r.ige [)lirloso|ilii((ue de l'oiiicaré : WissENSCiiAFT fXD IIvpOTHESK. Aul.orisierle (li'disclie Aiisgahc mit eildiiterndeii Aiunerl.iin;^en roii V. iiii'l L. I.i.ndimann. Zweiie Auflage. I^eip/.lg, Teubner, igofi, p. 208 et suiv.

ELOGB HISTORIQIE I> HEXRI POINCARE. LV

Je supposerai de plus que, dans ce monde, tous les corps aienl le même coeffi- cient de dilatation, de telle façon que la longueur d'une règle quelconque soil pro- portionnelle à sa température absolue.

Je supposerai enfin qu'un objet transporté d'un point à un autre dont la tempé- rature est dilTérente se met immédiatement en équilibre calorifique avec son nouveau milieu.

Rien, dans ces hypothèses, n'est contradictoire ou inimaginable. Un objet mobile deviendra alors de plus en plus petit à mesure qu'on se rapprochera de la sphère limite.

Observons d'abord que, si ce monde est limité au point de vue de noire géomé- trie habituelle, il paraîtra infini à ses habitants.

Quand ceu\-ci, en effet, veulent se iap|)rocher de la sphère limite, ils se refroi- dissent et deviennent de plus en plus petits. Les pas qu'ils font sont donc aussi de plus en plus petits ; de sorte (|a'iU ne peuvent jamais atteindre la sphère limite.

Je ferai encore une autre hypothèse, je supposerai que la lumièie traverse des milieux diversement réfringents, et de telle sorte que l'indice de réfraction soit inversement proportionnel à R- — r-. Il est aisé de voir que, dans ces conditions, les ra\ons lumineu\ ne seraient pas recliligne», mais circulaires.

Dans le milieu ainsi imaginé par Poincaré, les êtres fictifs dont il nous parle, s'ils faisaient de la géométrie, adopteraient la Géométrie non euclidienne. Les lignes droites, les rayons lumineux de la Géo- métrie ordinaire, seraient remplacés par des cercles orthogonaux à la sphère limite, les plans par des sphères orthogonales à cette même sphère.

Ces constatations conduisirent Poincaré à réfléchir sur les bases de la Géométrie et sur les axiomes qu'elle emploie. Pour lui, les axiomes ne sont pas autre chose que des conventions, je préférerais dire des défini- tions plus ou moins complètes, des éléments idéaux que notre ima- gination construit en s'appuyant sur l'expérience.

Les démonstrations que nous venons de rappeler montraient avec la dernière évidence qu'on peut ramener, l'une à l'autre, les deux Géomé- Irics euclidienne et non euclidienne, et qu'il ne peut se révéler dans le développement de l'une d'elles aucune contradiction (|ui n'existe aussi dans l'autre. Mais alors surgissait nécessairement une autre question. Puisque nous employons en géométrie des éléments qui, bien que sug-

I-VI KLor.K IllSTOniQlE n IIF.NIII l'OINC.VnÉ.

gérés par TexpériLMice, sont des créations de notre esprit, (pii pourra nous assurer ipie nous ne sommes pas égarés et (pie le développement logique de nos conceptions ne finira pas par nous conduire à des résultats eontradictoires. Toute difficulté à cet égard me paraît levée par le mé- morable travail que M. Hilbert a consacré à l'ensemble de nos axiomes géométriques (').

XVI.

Mes chers Confrères, l'analyse précédente, à la fois si longue et si incomplète, vous aura pourtant, je l'espère, donné une idée de l'étendue et de l'importance des travaux d'Henri Poincaré.

On peut se demander comment, dans une vie relativement si courte, il a pu écrire plus de 3o Volumes et près de 5oo Mémoires, répandus dans les Recueils du monde entier. .le ne connais que Beitlielol dont la production soit comparable à la sienne. J'ai vécu à côté et dans l'intimité de ces deux grands hommes. Ce qui m'a le plus frappé, c'est la prodi- gieuse activité de leur esprit, la rapidité de leurs conceptions. J'ai vu Poincaré à la Sorbonne, au Bureau des Longitudes, à l'Académie. Partout, quand on lui demandait de résoudre une difficulté, sa réponse partait avec la rapidité de la flèche. Lorsqu'il écrivait un Mémoire, il le rédigeait tout d'un trait, se bornant à quelques ratures, sans re\enir sur ce qu'il avait écrit. Au reste, il nous a donné des renseignements, d'une valeur inappréciable pour le philosophe et le biologiste, sur la manière dont il travaillait (-). Vous avez dû remarquer que j'ai piis plaisir à m'elîacer devant lui et à multiplier les citations. Permettez-m'en une

('j Poincaré l'ut amené en 19O4 à faire un rapport Mir les études de M. Jliljjert, qui ont valu à ce géonfiètre pénétrant la médaille Lobatscijefsky, décernée par la Société pliysico-mathémati(|ue de I\azaii.

(') .VI. le D"" Toulouse, qui a examiné pai- les méthodes de la Psychologie physio- logique plusieurs hommes célèbres, Zoln, Berthelot, Dalou, Hodin, Puvis de Chavannes. Saint-Saéns, Alphonse Daudet, Jules Leraailre. Pierre Loli, etc., a consacré tout un Noluiue en i()io à Poincaré. Voir IIi;nri I'iuncaiié, par le D'' Toulouse, Paris, E. Plaininarion.

ÉLOGE HISTORIQUE DHENRl POIXCARE. LVIi

nouvelle; elle aura l'avantage de vous éclairer sur la genèse de sa plus belle découverte.

Depuis quinze jours, nous dit-il, je ni'eflForçais de déinonlrer qu'il ne ponvail exister ancune fonction analogue à ce que j'ai appelé depuis les fonctions fiic/tsiennes ; i'élsih alors fort ignorant. Tous les jours, je m'asseyais à ma table de travail, j'y passais une heure ou deux: j'essayais un grand nombre de combinaisons et je n'arrivais à aucun résultat. Un soir, je pris du café noir, contrairement à mon habitude; je ne pus m'endormir, les idées surgissaient en foule: je les sentais comme se heurter, jusqu'à ce que deux d'entre elles s'accrochassent, pour ainsi dire, pour former une combinaison stable. Le malin, j'avais établi l'existence d'une classe de fonctions fuchsiennes, celles qui dérivent de la série hypergéométrique. Je n'eus plus qu'à rédiger les résultais, ce qui me prit quelques heures.

Je voulus ensuite représenter ces fonctions par le quotient des deux séries; cette idée fut parfaitement consciente et réllécliie; l'analogie avec les fonctions elliptiques me guidait. Je me demandai quelles devaient être les propriétés de ces séries si elles existaient, et j'arrivai sans difficulté à former les séries que j'ai appelées thélafuchsiennes.

A ce moment, je quittai Caen, que j'habitais alors, pour prendre part à une course géologique entreprise par l'École des Mines. Les péripéties du voyage me firent oublier mes travaux inalhématiques; arrivés à Coulances, nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade. Au moment où je mettais le pied sur le marchepied, l'idée me vint, sans que rien dans mes pensées antérieures parût m'y avoir préparé, que les transformations dont j'avais fait usage pour définir les fonctions fuchsiennes étaient identiques à celles de la Géométrie non euclidienne. Je ne fis pas la vérification, je n'en aurais pas eu le temps, puisque à peine dans l'omnibus je repris la conversation commencée; mais j'eus loul de suite une entière certitude. L)e retour à Caen, je vérifiai le résultat à tête reposée pour l'acquit de ma conscience.

Je me mis alors à étudier des questions d'arithmétique sans grand résultai apparent et sans soupçonner que cela pût avoir le moindre rapport avec mes études antérieures. Dégoûté de mon insuccès, j'allai passer quelques jours au bord de la mer et je pensai à autre chose. Un jour, en me promenant sur la falaise, l'idée me vint, loujours avec le même caractère de brièveté, de soudaineté et de certitude immédiate, que les transformations arithmétiques des formes quadratiques ternaires indéfinies étaient identii|ues à celles de la Géométrie non euclidienne.

Étant revenu à Caen. je réfléchis sur ce résultat et j'en tirai les conséquences; H. P. — II. A

I.V111 KI.OCE UISTOmOl K DIIENIll POINCARÉ.

I exemple des formes qiiailialii|ues me montrait qu'il y ;nait des groupes fuclisiens autres que ceux qui correspondent à la série h vpergéométrique, je vis que je pourrais leur appliquer la lliéoile des foiirlions tlictaliulisiennes, et que, par conséquent, il existait des fonctions llK'tafncliAiennes antres que celles qui dérivent de la série hypergéométrique, les seules (|ue je connusse jusqu'alors. Je nie proposai naturel- lement de former toutes ces fonctions. J'en fis un siège svslétiiatique et j'enlevai, l'un apiès l'autre, tous les ouvrages avancés; il v en a\ait un cependant qui tenait encore et dont la clin te devait eu traîner relie du corps de place. Mais tous mes efforts ne servirent (]u à me mieux faire connaître la iliflicnllé. ce f|ui était déjà quelque chose. Tout ce travail fut parfaitement conscient.

Là-dessus, je partis pour le Mont-\ alérien. où je devais faire mon service mili- taire. J'eus donc des préoccupations très dilléienles. Un jour, en traversant le boulevard, la solution de la difficulté qui m'avait airêté m'apparut tout à coup. Je ne cherchai pas à l'approfondir immédiatement, et ce fut seulement après mou service que je repris la question. J'avais tous les éléments, je n'avais qu'à les rassembler et à les ordonner. Je rédigeai donc mon Mémoire déliiiilif d'un trait et sans aucune peine ( ' ).

XVII.

Comme il est naturel, tant de publications éclatantes sur tant de sujets divers avaient répandu dans le monde entier la renommée de notre Confrère. 11 appartenait à divers titres à une quarantaine d'Acadétnies ou de Sociétés savantes, françaises ou étrangères. A l'occasion de divers anniversaires, il avait reçu des diplômes de docteur des Universités de Cambridge, Christiania, Kolozsvar, Oxford, Glascow, Bruxelles, Stockholm, Berlin. La Société royale aslronomicjue lui décerna en 1900 sa médaille d'or, qui lui fut remise en séance solennelle par le regretté Sir George Darwin, à ([ui ses recherches personnelles permettaient

(') Les savants directeurs de \'Euseis,'/iei>ic/i/. iiiat/ii^/)ia/ir/iic, iMM. Laisanl et Fehr, avaient eu l'idée d'ouvrir une enquête sur les habitudes d'esprit et les méthodes de travail des Mathématiciens. Poincaré répondit à Irur demande en faisant, sous les auspices de Vlnslilut général psychologiijiie. nue Conférence sur Vimenlion e// /««^/«-//('///'///r.v. Cette Conférence, riche d'idées Unes et ingénieuses, forme le Chapitre III de l'Ouvrage qu'il a publié sous le titre -.Science elMélliode. (y'esl à elle que nous avons eiuj)runté la citation (|iii ligure dans le texte.

ÉLOGE IIlSTORlyrE d'hEXRI POINCARÉ. [.IX

d'admirer avec le plus de compétence les découvertes astronomiques de notre compatriote. Un an après, la Société royale de Londres lui décernait la médaille Sylvester. En iÇ)o4, il recevait la médaille d"or Lobatscliefsky de la Société physico- mathématique de Kazan. En ipoS, sur la proposition d'une Commission internationale où j'avais l'honneur de représenter notre pays, l'Académie hongroise des Sciences lui décernait le grand prix Bolyai, qu'elle avait fondé en l'honneur des deux illustres savants de ce nom, le père et le (ils, et qu'elle avait à attribuer pour la première fois. La France ne restait pas en arrière. Si le peu de temps qui s'écoula entre ses débuts et son élection ne permit pas à notre Académie de lui faire parcourir toute la gamme des prix dont elle dispose, elle lui décerna cependant en iH85 le prix Poncelet et en iHjjO, alors qu'il nous appartenait, le prix Jean Reynaud, sur le désirexprimé par la fondatrice de ce dernier prix. Il fut nommé en iSy'i membre du Bureau des Longitudes, au litre de l'Académie des Sciences. Enfin en 1908, peu après la mort de Berthelot, l'Académie française lui décerna le suprême honneur, en l'appelant à occuper le fauteuil du grand poète Sully Prudhomme. Vous vous souvenez encore des mémorables Discours (pii furent prononcés ici même, le 28 janvier 1909, dans la séance où il fut reçu par M. Frédéric Masson.

XVIIL

Tous ces succès étaient des témoignages de l'admiration et de l'estime que ses confrères et ses pairs avaient pour lui; mais les Ouvrages de Philosophie qu'il publia à partir de 1902, La Science et l'Hypothèse^ Science et Méthode, la Valeur de la Sric/ice, lui valurent une popularité que n'avaient connue ni Cauchy, ni Heiniite, ni Joseph Bertrand. Tirés à un nombre prodigieux d'exemplaires, ils ont été traduits en allemand, en anglais, en espagnol, en hongrois, eu suédois, en japonais. Je n'oserais affirmer qu'ils ont été pleinement compris de tous; poursaisir la pensée de leur Auteur, une forte culture scientifique est nécessaire, qui manque à plus d'un; mais l'autorité joue encore quekpie rôle dans ce monde, et c'est

LX KI.OGK 11ISI(111H.H H d'mKMU POINCUIK.

avec un senlimenl de déférence bien naturel qu'on discutait les idées et qu'on accueillait les théories d'un si grand savant.

Devenu populaire, il connut les avantages et quelques-uns des incon- vénients de la popularité. La Revue bleue, ayant ouvert en i()o'i une enquête sur la {larlicipation des savants à la politique, hii demanda son opinion sur cette question. Poincaré lui répondit par une lettre très spirituelle dont je vous demande la permission de citer la tin :

Vous me (leniaudez si les savants poliliques doivent coniballre ou ajipuver le IjIûc ministéiit'l ■? Ali ! jinni- le coup, je me récuse; cliacun devia voter suivant sa cons- cience; je suppose que tous ne ])ensei"ont pas sur ce point de la même manièie, et vraiment je ne sautais m'en plaindre. S'il v a des savanls dans la politique, il faut qu'il V en ait dans tous les partis: et, en ellel, il est indispensable qu'il y en ait du côté du manche. La Science a besoin d'argent, et il ne faut pas que les ;;ens au pouvoir puissent se dire : la Science, c'est l'ennemi (').

En ir)ii, ce fut le journal rOpliiioit qui sollicita son a\h si/r /a pn'- pondérance politique du Midi. Un de ses rédacteurs avait conclu que « la France est gouvernée par le Midi et qu'elle l'est de plus en plus ». Poincaré donna son opinion, le 25 mars 191 1. Elle n'était pas préci- sément favorable aux hommes du Midi. Mais ceux-ci peuvent s'en consoler. Le Midi est si grand que chacun peut bien supposer qu'il est d'une région à laquelle ne s'appliquent pas les appréciations de notre Confrère.

Il a été appelé aussi à publier son opinion sur la ïiepi-èaentaliuu pro- porlionm-lle ; il a même écrit la' préface de l'Ouvrage de M. G. Lacha- pelle intitulé : La Représentation propoi lionnelle en France et en Bel- gique. Les auteurs des Traités sur le calcul des })robabilités, Bertrand entre autres, se sont beaucoup préoccupés de la question électorale, et les résultats auxquels ils sont parvenus mériteraient d'être pris en consi- dération. Mais ce n'est pas ici qu'il convient de les discuter.

Cette popularité, cette autorité (]u'il s'était si légitimement acquises, le faisaient rechercher de tous côtés. Vax i<jo3, appelé à présider le XIX*" banquet de l'Association générale des Etudiants, il piononça une

(') Jiei'iie fjleite, igo'i, |). 708.

ELOGE HISTORIQUE DHKNRI POINCABE. LXI

belle Allocution sur la vérité scientifique et la vérité morale, engageant ses auditeurs à les unir dans un même culte. L'œuvre de Foi et Vie ne fit pas en vain appel à son concours; Poincaré lui donna en 1910 une Confé- rence sur les bases de la morale, intitulée : La Morale et la Science et, en mars 1912, une auti'e sur un sujet moins troublant : Les conceptions nouvelles de la matière.

En 191 1 , notre confrère Richepin eut l'idée de fonder une Ligue pour la Culture française. Parmi les adhésions qu'il reçut dans notre Académie, il faut signaler celle de Poincaré; notre Confrère ne se con- tenta pas de faire partie de la Ligue, il écrivit aussi un petit Traité populaire pour défendre la culture littéraire et l'éducation classique (').

XIX.

Tous ces concours auxquels il ne se refusait pas ne l'empêchaient pas de poursuivre ce qu'il considérait comme sa tâche essentielle et de répandre ses idées et ses découvertes relatives à ses études de prédilec- tion. En 1900, à l'Exposition universelle, il fit trois Conférences dans l'espace d'une quinzaine : l'une, le 1 1 août 1900, Sur le rôle rie l' intuition et de la logique en Mathématiques., devant le Congrès international des Mathématiciens, dont il avait été élu président; l'autre. Sur les prin- cipes de la Mécanique, au Congrès international de Philosophie; la troisième enfin. Sur les rapports de la Physique expérimentale et de la Physique mathématique, au Congrès international de Physique, qui se tenait à la même époque.

Mais, de tous les appels que recevait Poincaré, les plus agréables sans aucun doute étaient ceux qui lui venaient de l'étranger. En 190'j, Newcomb, notre illustre Associé étranger, se rendit à Paris pour inviter, au nom du Gouvernement américain, les Savants français à participer au Congrès international d'Art et de Science, organisé sur le modèle de l'Institut de France; ce Congrès devait se tenir à Saint-Louis, l'année

(') H. PoixCARÉ, Les Sciences et tes Humanités. Paris. A. Fayard. 191 1.

LXII El.OGE IIISTOIIICU E I) IIKMU l'OINCAnE.

sui\ auto. pondant la (Inroo de l'Exposition nniveisclle destinée à célébrer le ceiilenaire de la réunion de la T^onisiane aux Etats-Unis. Plusieurs d'entre nous acceptèrent l'invitation qui leur était faite d'une manière si gracieuse. Poincaré fut du nombre et profila de l'occasion qui lui était olïerte pour visiter les diil'érenles régions des Etats-Unis. La Conférence qu il lut, le 24 septembre i(|o'|, devant le Congrès, avait pour titie : L'i'lnl actuel r-t l'/nc/tir t/c la PliysifjiU' nialliémiitiquc

V.n if)0(), sur l'invitation de la Couiuiission qui régit la fondation ^^'olfskeid de la Société royale des Sciences de Gœttingue, il allait donner six Conférences de\ant les professeurs et les étudiants de la glorieuse Université de celte ville. Les cinq premières ont été faites en allemand sur des sujets techniques. Quant h la sixième, elle avait pour objet : La noinelle Mécanique, je veux dire celle de Lorenlz, et non celle des Quanta. Pour mieux exprimer sa pensée, il préféra la faire en français.

Dans cette même année i90(), il fut délégué par l'Université de Paris aux fêtes organisées par l'Université libre de Bruxelles pour le 'jd'' anni- versaire de sa fondation. L'accueil qu'il y reçut fut particulièrement chaleureux. On lui demanda de faire une Conférence; il choisit comme sujet : Le libre Ej-anien en matière scientifique (').

Il fut de même, en octobre 1910, le délégué de l'Université de Paris aux fêles du Centenaire de l'Université de Berlin, qui saisit cette occa- sion de le nommer docteur honoris causa en Médecine et Chirurgie. Il y lut, à la Réuniou niatliéinatifiuc àc l'Université, une Conféretice sur la théoi'ie des oudrs hertzicnni's.

La dernière année de sa vie fut particulièrement chargée sous ce rapport, l'^n mai 1912, il allait faire à la jeune Université de Londres plusieurs Conférences sur /(/ théorie du rayounenient^ (|ui l'a intéressé jusqu'à son dernier jour, sur la logique de l' in/ini, sur rcspace et le temps. Quelques jours après, il se rendait à Vienne, en Autriche, pour y défendre la cause des Humanités devant la réunion des Amis du

(') Celle Conférence, lue le 21 novembre 190g, a élé publiée dans le numéro île décembre 1910 de la Iteviie de i fJnii'ersité tic Jlni.rellcs.

ÉLOGE HISTORIOUE d'hENRI POINCVRÉ. LXIII

Gymnase. La même année aussi, il était allé à Bruxelles pour prendre part à un Congrès d'un genre tout particulier. Un grand industriel, M. K. Solvay, doublé d'un Mécène, auquel notre Académie décerne aujourd'hui même la médaille Lavoisier, avait réuni les physiciens les plus qualifiés du monde entier, en leur demandant de discuter à fond les idées nouvelles sur la Mécanique. Poincaré a pris part à ces discussions qui viennent d'être publiées (').

XX.

Ces excursions que notre Confrère devait faire ainsi à l'étranger étaient fort loin de lui déplaire. Dès son enfance, il avait pris le goût des voyages, et l'on peut dire qu'il était de ceux qui connaissent le mieux notre planète. Pour ma part, je l'ai rencontré en bien des endroits diffé- rents : à Londres, à Rome, à Vienne, à Budapest, à Copenhague, à Saint-Louis d'Amérique, à Philadelphie, à New-York, à Boston. Sa valise n'était pas toujours dans un ordre parfait, et l'on rappelait quel- quefois dans sa famille qu'un jour, par mégarde, en Autriche, il avait emporté undrapdelit de l'hôtel; maisil savait voyager, et j'ai pu constater plus d'une fois, par moi-même, qu'on pouvait s'en rapporter à lui. D'ail- leurs, dans les conversations que nous avions ensemble, je ne me lassais pas d'admirer son grand bon sens, sa perspicacité, le merveilleux équilibre de son esprit. S'il a été hors de pair en Mathématiques, on peut affirmer (ju'il auiait admirablement réussi dans toutes les carrières qu'il auraitpu choisir. J'ai parlé plus haut de son insuffisance en dessin. Cela ne l'em- pêchait pas d'apprécier la peinture et la sculpture, de juger avec beaucoup de pénétration et de goût les œuvres d'art de toute nature. Il aimait beaucoup la musique, surtout la musique symphonique qui puise ses inspirations aux sources les plus pures et les plus cachées.

Ces qualités trouvèrent leur application dans les lâches diverses qui

(') La ihrorie du rayonnemenl el des quanta. Rapports et disciissioris de la réunion tenue à Bruxelles sous les auspices de M. Soivav. Publiés par MAI. I'. I^ANGEViN el iM. DE Bboc.i.ie. Paris. Gauthier-\'i|jars, 1910.

1 \i\ Éi.oiiiî iiiSTomouK d'iikmii rOINCVRÉ.

lui furent confiées. Quand rAcadéinie des Sciences obtint du (louverne- inent (ju'une mission composée d'officiers du Service géographique de lArmée irait reprendre à l'Equateur l'œuvre géodésique qui avait fait la gloire de notre Compagnie au wiii'' siècle, en procédant à une mesure nouvelle, réclamée par les progrès de la Science, de l'arc méridien de Quito, Poincaré fut l'âme, il n'y a pas d'autre expression, de la Com- mission de contrôle des opérations nommée par l'Académie. Ce fut à lui que le Gouvernement confia la présidence de la Commission interminis- térielle chargée de coordonner les applications de la Télégraphie sans fil. Knfin, (juand une initiative heureuse détermina la création d'un Conseil des Observatoires des départements, ce fut encore Poincaré i]ui fut appelé à diriger ses travaux. Il ne refusait pas son concours, mais il le donnait sans enthousiasme, et il avait le talent, qui peut être des plus précieux à l'occasion, de savoir écourter les séances des Com- missions.

Il n'était pas né pour être administrateur. Il préférait, et il avait bien raison, poursuivre les travaux de haute envergure qui ne cessaient de le préoccuper.

La recherclie de la vérité, a-l-il écrit au débul de l'introduction de son (Juvrage : La valeur de la Science, doit être le but de notre activité; c'est la seule fin qui soit digne d'elle.

Sa vie entière est une réponse à ceux qui pensent que la Science a été créée uniquement en vue de l'action.

De temps en temps, les devoirs des présidences qui lui étaient confiées lui donnaient l'occasion de rappeler les mérites des Confrères que nous perdions. Avec quel talent d'écrivain, avec (|uelle finesse, quelle bienveillance pour les peisonnes il s'acquittait de ce soin, seuls le savent ceux qui l'ont entendu, ceux qui ont lu le beau Volume : Savants et Ecrivains^ où il a réuni tous les KIoges rpi'il avait pro- noncés.

Il nous parle successivement de Sully Prudliomme, de Grcard, de Curie, de lirouardel, de Laguerre, de Cornu, d'Hermite, d'Halphen, de Tisserand, de .Joseph Bertrand, de Berthelol, de Faye, de Potier, de

ÉLOGE lIlSTOniCHE d'hENRI POINCARÉ. LXV

Weierstrass, de Lord Kelvin, de Lonvy, des Polytechniciens du xix" siècle. Son style laisse transparaître les idées avec une netteté parfaite, rien n'y sent l'emphase, ni la littérature d'imitation. C'est à la réflexion seulement qu'on reconnaît la parfaite concordance de la forme avec le fond, qui seul préoccupe l'écrivain. On y rencontre pourtant, presque à chaque page, de ces phrases lapidaires que leur forme grave pour toujours dans l'esprit. Souvent, il arrive aussi que quelque boutade spirituelle, quelque vérité énoncée sous une forme paradoxale, vient surprendre le lecteur et fait d'autant plus d'effet qu'elle était moins attendue.

Poincaré, d'ailleurs, se dépeint souvent lui-même, et nous apprend à le mieux connaître, dans les appréciations qu'il mêle à son récit.

Le savant digne de ce nom, le géomètre surtout, nous dil-il, éprouve en face de son œuvre la même impression que larlisle; sa jouissance est aussi grande el de même nature. Si je n'écrivais pas pour un public amoureux de la Science, je n'oserais pas m'exprimer ainsi ; je redouterais l'incrédulité des profanes. Mais ici, je puis dire toute ma pensée. Si nous travaillons, c'est moins pour obtenir ces résultats positifs auxquels le vulgaire nous croit uniquement attachés, que pour ressentir cette émotion esthétique et la communiquer à ceux qui sont capables de l'éprouver (' ).

XXI.

Ainsi s'écoulait la vie d'Henri Poincaré, au milieu de ses amis, au sein d'une charmante famille qui s'ingéniait à lui épargner toute préoccupa- tion et tout souci.

jyjiiie Poincaré appartient, par ses origines du côté maternel, à notre monde scientifique. Elle est la petite-fille d'Isidore Geofl'roy-Saint- Hilaire, l'arrière-petite-fiUe d'Etienne Geoffroy-Saint-Hilaire qui fut l'antagoniste de Cuvier. Sa mère, M""^ Poulain d'Andecy, qui a longtemps vécu au Muséum, y a laissé, comme d'ailleurs toute ia famille Geoffroy- Saint-Hilaire, des souvenirs de haute tenue morale, de bienfaisance et de charité, qui sont encore vivants aujourd'hui. Alors même qu'elle ne

(') Notice sur Halphen {Journal cl::' l'Ecole Polylechniqiie. 60" cahier). H. P. — II. i

LXVI KI.OGK IllSTOmÇirE n'iirCNRl l'OINCAnÉ.

Taurail pas Iroiivco dans sou alleciion et sa liaiilc inlellij^'cnce, M"""Poin- caré avait donc reçu de sa famille la notion de la vie quil convenait de faire à un savant tel (jue son mari. Ses trois filles et son fils se joignaient à elle pour entourer leur père de toute leur affection, et lui donnaient toutes les satisfactions qu'il pouvait désirer; son beau-frère et sa sonir, M. et M""*" llmile Boutroux, son neveu Pierre Boutroux, ses cousins germains, M. Raymond Poincaré, M. Lucien Poincaré, entretenaient avec lui les plus affectueuses et les plus étroites relations. Ses Confrères, heureux de posséder un homme de son génie, lui témoignaient une confiance et une déférence auxquelles il était très sensible. Bien qu'il ne fit lien pour les imposer, ses avis, ses o[)inions avaient à nos yeux une hante autorité. Partout, dans le monde entier, il trouvait les égards bien dus à celui dont la vie, exempte de toute préoccupation étroite, avait été uniquement consacrée aux recherches les plus hautes et les plus désinté- ressées. La i)uissance de son esprit était intacte; il semblait que la vieillesse allait venir pour lui, heureuse, accompagnée de tous les honneurs; qu'il contribuerait, longtemps encore, à accroître le patrimoine moral de notre patrie par l'exemple d'une vie consacrée sans relâche aux plus nobles travaux. La destinée jalouse en a ordonne autrement.

XXIL

Au Congrès international des Mathématiciens, qui se tint à Rome en 1908, un premier accident inquiéta ses amis et l'empêcha de lire lui- même la belle Conférence fjii'il avait préparée sur V Avcnif des Matliéina- tifjues. Cet accident, (]ui décelait une hypertrophie de la prostate, fut heureusement conjuré grâce à l'habileté et aux soins des chirurgiens italiens. M""' Poincaré accourut nous retrouver à Rome et ramena son cher malade en France, à petites journées. De retour ici, notre Confrère re[)rit ses habitudes et ses travaux; l'activité qu'il ne cessait de montrer nous permit d'espérer ([ue tout danger était, pour longtemps, écarté. Il s'occupait toujours du problème des trois corps. Le <) décembre 191 1, il écrivait la lettre suivante à M. Guccia, directeur fondateur du Circolo

ÉLOGK HISTORIQUE DHEXRI POINCARÉ. LXVll

tnatematico de Palerme, qui avait publié dans son Recueil, nous l'avons vu, quelques-uns de ses plus beaux Mémoires :

Mon cher ami,

Je vous ai parlé lors de votre dernière visiLe d'un travail qui me relient depuis

deux. ans. Je ne suis pas plus avancé, et je rae décide à l'abandonner provisoirement

pour lui donner le temps de mûrir. Cela irait bien si j'étais sûr de pouvoir le

reprendre; à mon âge, je ne puis en répondre, et les résultais obtenus, susceptibles

de mettre les chercheurs sur une voie nouvelle et inexplorée, me paraissent trop

pleins de promesses, malgré les déceptions qu'ils m'ont causées, pour que je me

résigne à les sacrifier. Dans ces conditions, trouveriez-vous convenable de publier

un Mémoire inachevé, où j'exposerais le but que j'ai poursuivi, le problème que je

me suis proposé, et le résultat des efforts que j'ai faits pour le résoudre ? Cela serait

un peu insolite; mais cela serait peut-être utile. Ce qui m'embarrasse, c'est que je

serai obligé de mettre beaucoup de figures, justement parce que je n'ai pu arriver

à une règle générale, mais que j'ai seulement accumulé les solutions particulières.

Dites-moi, je vous prie, ce que vous pensez de celle question et ce que vous me

conseillez.

Voire ami dévoué,

POIXCARÉ.

Il y a, dans cette lettre, une phrase sur laquelle on s'est appuyé pour dire que, depuis quelque temps, il avait les plus tristes pressentiments. Je ne saurais partager cette opinion ou, du moins, je la crois fort exa- gérée. Il est naturel que tout homme, atteint d'une maladie chronique, songe plus souvent qu'un autre à la lin inévitable. Mais aucun de nous n'a remarqué que notre Confrère fiît réellement affecté.

Quoi qu'il eu soit, et comme on peut bien le penser, M. Guccia s'em- pressa de réclamer le Mémoire qui lui était proposé. Un travail qui avait paru, à un géomètre tel (jue Poincaré, mériter des efîorts prolongés pendant plus de deux ans ! C'était une bonne fortune qu'on devait se garder de refuser. Le Mémoire a donc paru peu de temps avant la mort de son illustre Auteur (').

Il a pour titre : Sur un théorème de Géométrie . La démonstration

(') ftendiconli del Circolo inalenialico di Palermo. l. XXXIII, séance du 1 G m a rs 1 9 1 2 .

KLOCK lIISTdlUOUH I) llKNUl POINC.VtlE.

complète de ce théorème, si Poincaré avait pu roKlcnir, lui aurait permis notaïuuienl ilolalilir rexistence duii nombre illimité do solutions pério- dicjues dans un cas du problème des trois corps plus générai (pie tous ceux qu'il avait envisagés jusque-là (').

L'année 191 :^, qui vil la publication du ce Mémoire, est celle peut-être où notre Confrère déploya le plus d'activité. Nous avons déjà signalé les voyages qu'il fit à Londres, à Vienne, à Bruxelles. A Paris même, il accepta de faire partie de la Ligue française cVéducution morale et prononça à la première assemblée de cette Ligue un éloquent Discours sur la nécessité de l'union morale. C'était le 26 juin 1912; trois semaines à peine le séparaient de la mort. Les accidents qui avaient inquiété ses amis s'étaient malheureusement reproduits et aggravés. Les médecins estimèrent (ju'il y avait lieu d'envisager une opération.

Cette opération devait se faire un mardi; je vis notre Confrère le jeudi qui la précéda. Il présida d'une manière un peu nerveuse le Conseil des Observatoires. Après la séance, il vint me mettre au courant. Il était rempli de confiance et me parlait de son intention de se rendre à Hambourg, pour le cincjuantenaire de l'Association géodésique interna- tionale, auprès de laquelle il était délégué parle Gouvernement français. Le samedi suivant, il vint à une séance de la Faculté où, à propos d'une

(') Ctiose étrange! Ce lliéoième de Géométrie, qui avait défié pendant si long- temps les efTorts de Poincaré, a été démontré en très peu de temps par un géomètre américain, M. BirkhofT, et aussi, si je suis bien informé, par un géomètre suédois, M. Pliragmén, qui avait assisté autiefois Poincaré dans la publication de son Mémoire couronné.

A cette occasion, je ne puis m'empèclier de remarquer que, dans celte séance même, l'Académie couronne un beau travail de M. Sut)dman sur le problème des trois corps. L'Auteur y développe une solution de ce problème plus générale que celle qui était réclamée par Weierstrass, lors du concours institué par le roi de Suède, puisque M. Sundman n'exclut pas le cas, explicitement écarté par le pro- gramme reproduit plus haut (p. xxix), où les corps pourraient se choquer.

Ces recherches de M. Sundman ont leur point de départ dans un théorème relatif au problème des troiscorps énoncé jiar notre Confrère M. Painlevé dans les Leçons qu'il a été appelé à faire à Stockholm, en 189.5.

ELO(iK HlSroRHH E 1) HENRI POIXCARE. LXIX

candidature, il nous exposa les idées qui lui étaient chères sur la théorie des groupes de substitutions.

L'opération, faite le mardi <) juillet, parul avoir réussi. J'étais alors au Conseil supérieur de l'Instruction pulilique, où le cousin germain de notre Confrère, M. Lucien Poincaré, alors directeur de TP^nseignement secondaire, me donnait chaque jour les nouvelles les plus satisfaisantes. Notre Confrère ne se levait pas encore, mais il s'alimentait quelque peu. Sans négliger aucune précaution, la famille commençait à perdre toute inquiétude. Un accident imprévu, une embolie sans doute, est venu, le 17 juillet, tromper toutes nos espérances. En un quart d'heure à peine, la mort a enlevé celui que nous regardions comme définitivement sauvé. Quand la funeste nouvelle nous fut annoncée, nous demeurâmes long- temps sans vouloir y ajouter foi. Vous vous rappelez, mes chers Confrères, l'émotion qu'excita partout cette mort prématurée. On peut répéter ici ce qu'il a dit lui-même, lors de la moit de Curie. Il n'était pas un Français, si ignorant qu'il fût, qui ne sentit plus ou moins confu- sément quelle force la Patrie et l'Humanité venaient de perdre.

Henri r^uiiicaré, disait noire (]oiifrére Paul Painlevé, était vraiment le cerveau vivant des Sciences rationnelles. Mathématiques, Astronomie, Physique, Cosmo- gonie, Géodésie, il a tout embrassé, tout pénétré, tout approfondi. Inventeur incomparable, il ne s'est pas boiné à suivre ses aspirations, à ouvrir des voies inattentiues, à découvrir dans l'univers al)slrait des malliéiiiatiques mainte terre inconnue. Partout où la raison d'un homme a su se glisser, si subtils, si hérissés qu'aient été ses chemins, qu'il s'agit de télégraphie sans fil, de phénomènes radio- logiques ou de la naissance de la Terre, Henri Poincaré s'est glissé prés de lui pour aideret prolonger ses recherches, pour suivre le précieux filon.

Avec le grand mathématicien français ilisparait donc le seul homme dont la pensée fût capable de faire tenir en elle toutes les autres pensées, de comprendre jusqu'au tond, et par une sorte de découverte renouvelée, tout ce que la pensée humaine peut aujourd'hui comprendre. Et c'est pourquoi cette disparition préma- turée, en pleine foice intellectuelle, est un désastre. Des découvertes seront retardées, des tâtonnements se prolongeront paice (|ue le cerveau puissant et lumineux ne sera plus là pour rapprocher des recherches qui s'ignorent, ou pour jeter, dans un monde de faits obscurs brusquement révélés par l'expérience, le coup de sonde hardi d'une théorie nouvelle.

Lxx ki.oiii: iiisTiiiti(.>i i; ii'iiiîMU poiNc.vnÉ.

Aux obsèques, (]ui eurent lieu le k) juillet, le Ministre de rinslruclion publique, M. ( ïuist'liau, exprima en ces termes le sentiment commun:

L;> iiioit illleiiri l'oliicaré, si elle réunit chiiis une même pensée de regret l'élite intellectuelle de tous les pavs, est pour nous un deuil public. En s'v associant, le Gouverneraent est rinlerpréte de la nation tout entière, douloureusement atteinte. Car si les travaux du matliéniaticien ne sont accessibles qu'à un petit nombre, tous savaient qu Henri Poincaré représentait ce que le génie de la France a de plus pur, de plus désintéressé, de meilleur.

M. Jules Claretie, au nom de l'Académie française, MM. Lippmann et Painlevé, au nom de l'Académie des Sciences, M.Paul Appell, au nom de la Faculté des Sciences, M. Bigourdan, au nom du Bureau des Lonjïi- tudes et du Conseil des Observatoires, le général Cornille, au nom de l'Ecole Polytechnique, apportèrent successivement au grand penseur l'hommage de leurs regrets et de leur admiration.

La Société Royale de Londres, qui avait reçu la funeste nouvelle au moment oi'i elle célébrait le deux cent cinquantième anniver.'-aire de sa fondation, s'était fait représenter par deux de ses membres les plus distingués, MM. Larmor et Dyson.

Quelques jours plus tard, M. Vito Volterra, notre éminent Correspon- dant, qui avait été invité, comme Poincaré lui-même, à assister à l'inau- guration du nouvel Institut Rice, en Amérique, à Houslon dans le Texas, consacra toute la Conférence qu'il fit à celte occasion, devant nos Confrères Américains, à une exposition magistrale de l'OEuvre raalhématicpie d'Henri Poincaré.

Comme l'a dit M. Claretie, la postérité avait commencé pour notre Confrère bien longtemps avant sa inorl. Sa ville natale, qu'il a tant honorée et tant aimée, saura, de Ijien des manières, lui témoigner sa reconnaissance et perpétuer son souvenir (' ). Pour nous, qui le regret- terons toujours, qui le cherchons encore involontairement à la place oii

(') iJéjà l'Association des anciens l^léves des lycées de Nanc>, Metz, Strasbourg et Colmar a fait ériger un buste en bronze de notre Confrère dans le square du lycée de Nancy qui borde la rue Gambetta. Ce buste, exécuté par un statuaire

EI.O(iE HISTORfOlE I) HEXIII POTNCARE. I.XXI

il avait coutume de s'asseoir, nous lui rendrons l'hommage auquel il aurait été le plus sensible, en veillant, avec le concours et l'assentiment de ses proches, à la publication de ses Œuvres mathématiques . Le monument que nous lui élèverons ainsi sera celui qu'il aurait le plus volontiers agréé; il prolongera son action et lui suscitera des élèves qu'il n'aura pas connus. Ceux de nos jeunes géomètres qui pourront ainsi y étudier ses immortels travaux y recueilleront une foule de suggestions fécondes; puissent-ils, en même temps, s'inspirer des vertus de leur auteur et, comme lui, concilier le culte de la Science avec celui de la Famille et de la l\Urie.

dislingue, M. Carlier, repose sur un socle de granit des Vosges qui porle celle simple inscription :

A Hknri Poincaré, l'A.ssociatiij/i r/es anciens Eièfes. 1910.

D'anire part, M. le généial Goetscliy, qui présidait celte année la dislribution des priv aii\ élèves du lycée de Nancy, a donné lecture à l'Assemblée d'un décret du 10 juillet i()i3, en verlu duquel le Ivcée dont noire Confrère a été l'illuslie élève, et auquel il témoignait tant d'afl'ection, portera à l'avenir le nom de Lycée Henri Poincaré. Cette décision a été exécutée sans retard, et l'inscription du nouveau nom figure sur les portes principales du lycée.

Nous avons parlé plus hinU de la plaque con)niémorati\ e qui a été apposée, par les soins de l'Association des anciens l'Jlèves, sur la maison natale tie notre C"on- Irère. Celle plaque porle l'iiiscriplion suivante :

Dans celle maison

est né le 29 a^'ril 1804

Henri Poincaré.

Membre de CAcadémie française el de l' Académie des .Sciences.

morl à l'aris le \r juillel 1912.

I"- SECTION

ANALYSE PLI HE

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l' Académie dei Sciences, l. di, p. 3Î3-335 ( ij février iSSi ).

Le but que je uie ju-opose, dans le travail que j'ai riKniiicur de |ir('seuler à l'Acadéuiie, est de recherelier s'il n'existe pas des fourlicuis analytiques aiia- lii<;ues aux fonctions elli|)liques et permettant d'intégrer diverses équations did'érenllelles linéaires à coef'ficicnls algébriques. Je suis arrivé à démontrer qu'il existe une riassc très étendue de fonctions ([ui satisfcuit à res condi- tions et auxipielb's |'ai doaui' le nom <\i: Jn/iclioiis J iic/isi/'/iiies, en l'honneur de M. Kuclis, dont les iraxanx m Hat scr\ i très utilement dans ces reclierclies.

Voici les notai ions dont je ferai usage. Soit ; une variable imaginaire repré- sentée par un point dans un [ilan. Si j'appelle K| l'opération qui consiste à cliangcr ; en _/', (;), Kj celle qui consiste à clianger z en /-,( z), j'écrirai habi- tuellement

-!<,=/,(;), zK, = f,{z). zK,K,=f,[/,{z)].

(^uand ; restera intérieur à une certaine région Pi. ;K., rcstei.i intérieur à une certaine région S: j'écrirai

S = RK,.

J'appelle cercle Joiidaiitcnlal le cercle quia pour centre l'origine et pour rayon l'unité; groupe hyperbolique, le groupe des opérations qui consistent

à clianger ; en — ^ -^ {a, h, c. d étant des constantes), et qui n'altèrent jias le

cercle fondamental; groupe disconli/iu. tout groupe qui ne contient pas

d'opération infinitésimale, c'est-à-dire d'opération cliangeants en une quantité

H. 1'. — II. ' I

■i Slin I.KS FONCTIONS FIICIISIENNES.

iafînniionl Miisiiio do r- ; i;r(iupc fiirhsirn . Imil j;ri)U|>c ilisciinl iiiii conlomi tiaiis le u;i'oiipo liypoibolicjno.

yn\tyic\\e ■fonction fuchsienne loiilo t'Diiciion imit'miiic de z (|iii n'csl pas allt'n-c par les opérations d'un groupe furlision.

Il l'.ill.nl (l'aliiird t'onnci- tous l(•^ i^riiupcs l'urlisicns; j'y suis airivé à l'aide de la Cu'dUK'Irie non euilidienue, doni je ne parlerai pas ici. .l'ai lait \(>ir([ue la surfaee du eerele l'undaniental peut se déeoni|)oser (el eela d'une infinité de manières) en une iii(inil(' de r('i;i()ns Rj, R,, Ro, ..., R,, ... satisfaisant aux conditions suivantes :

I. Ces régions sont des polygones curvilignes dont les côtés sont des arcs de cercle ap]iartenant à des circonférences qui coupent orthogonalcmcnt le cercle fondamental.

II. On a, (juel rpie soit l'indice i,

R, = RoK,, K,- étant une op('ration du groupe liyperhidlrptc.

Il est clair (|uc les différentes opérations K, forment un groupe discontinu contenu dans le groupe hyperbolique, c'est-à-dire un groupe fuclisien.

Problème 1. — Est-il possible d'effectuer cette décomposition de telle façon (jite l<t première de ces régions Rq soit un polygone curi,iligne donné?

Prenons un exemple particulier; envisageons deux triangles curvilignes ABC, BGD dont les côtés soient des arcs appartenant à des circonférences qui coupent orlliogonalemenl le cercle fondamental. Supposons rpie les angles eur\ ilignes de ces triangles soient égaux respectivement :

BAC et BDC à -, a

CBA et CBD à |,

BGA et BGD à -,

Y

■/, Ti, Y étant des nombres entiers positifs (finis ou infinis), et tels que

I I I

- -h ^ -^ - <i.

Sl:ll LES FONCTIONS FUCIISIENNES. 3

On pourra décomposer la surface tlu cercle fondanienlal en une infinité de régions Rq, R|, . . . , R/, . . • satisfaisanl aux conditions I et II et de telle sorte que Ro soit précisément le quadrilatère ABGD. A ce mode de décomposition correspond un groupe fuclisien que j'appelle le groupe (a, j3, y).

Je résous ensuite le problème I dans le cas général et je montre comment on [icut former tous les groupes fuchsiens et en donner une classification ration- nelle à deux points de vue différents.

Parmi les groupes fuclisicns, il en est qui méritent d'attirer (tarliculièremenl notre attention :

1° Le groupe (2,0,00), (jui est isomorphe air groupe des opérations qui

changent ; en — ^^ -.> a. h, c. d étant des entiers tels (lue ad — hc := i .

2" Certains groupes qui sont isomorphes aux groupes des substitutions linéaires à coefficients entiers, qui reproduisent une forme quadratl(jue ter- naire indéfinie à coefficients entiers.

L'existence de ces groupes fait ressortir les liens intimes (jiii unissent la théorie des nombres à la (jiiestion analyti(pie qui nous occupe.

J'appelle Jonclion ihciaj uchsicnne toute fonction ©(-) uniforme en ;, et telle que (K,- étant une opération quelconque d'un groupe fuclisien) on ait

identiquement

, ,. , fdzKi\-"'

m étant un nombre entier |)ositif.

En d'autres termes, pour une infinité de \aleurs de a. b. <■ . d. telles que

ad — bc = i, lin aura itlcntiqiicment

/az -1- 6\ _ \cz -h d ) ~

Je démontre (ju'il existe une infinité de fonctions thétafuchsiennes définies par la série convergente

'dzKi\"'

2 "<»'-'(¥)■

m est un nombre entier plus grand que i ; K, est une opération quelconque d'un groupe fuclisien quelconque G; II(:;) est une fonction rationnelle de z.

4 SUR Li:S FONCTIONS F LXIISIENNKS.

Il peut se préscnlrr deux ciis : i" Tou< les jxiiuls du corclo fondainciitiil sont lIcs poiuls siiiiiuliors csseiiliols de (") (;); 11 v a alors eu réalili' deux foaelions distinctes : la première n'existe (|u'à linlérleur du ecrcle fondamental, la seeonde à l'exlérieur seulemenl, ear ou ne peut passer de l'une à l'aulre par coni inuiii- ; ■'," (■)(;) a une mliiilli' dr poials Mui;uliers essenluds sur le eerele fondanienlal . rii:iis re> poiiils siui;uli('rs siml is(d(''s, de soile cpie la lourlion existe daii'- inui le plan.

(lelte toiicliou l'^l loupiur^ riici'oinoi'plie, saul -.ur le eei'cli' tondauu'ntal ; I uiduiue le uioveu de ealeuler le nombre d<' ses zéros distincts et de ses infinis distincts.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. !)2, p. 3yj-3r)S (21 février 1S81).

Le quolient de deux rnacliuas thétatuclisieiines correspondant à un même groupe fuclisien el à une niùme \aleur du noinhic entier //« est une f'onclion F(;) uniforme en ;, cl telle ([uc

F(-K,) = F(-).

C'est donc une fonction fuchsienne. d'après la définition donnée dans la Note précédente. En d'autres termes, on a iilentitpienient, pour une infinité de valeurs des constantes a. b, c, d.

■'(^)-'''^''

Je démontre deux thécn-èines :

1" Entre deux fonctions fnclisienaes ayant même <^roupe et n'ayant d'autre point singulier essentiel que ceux qui sont une conséquence de leur définition, il y a une relation algébrique.

1° Toute fonction fuclisienne F(r) permet d'intégrer une équation linéaire à coefficients algébriques de la manière suivante. Si ion pose

j', et y,, satisjunt à l'équation différentielle o (a;) étant algébrique en x.

6 SIR I.KS lOM.TlONS FliCllSlKNNKS.

Soit, vn |i,irliculior, rt'ijiMl imi

(I)

où a, p, y sont des nombres entiers positifs Unis ou infinis, et tels (|uc

I I I

a p Y

Si z est le r.ipport des intégrales, on a

/(:•) étant une l'onction fuclisiennc relative an groupe (a, [î, y).

Elle n'existe qu'à l'intérieur du cercle fondamental, et peut être regardée comme le quotient des deux fonctions tiiétafuchsiennes

m" (f)'"/< = :

[/(-)J"l/(^)-

i/i-)jn/(-)-'j'''

m. p et q sont des nombres cnlieis cpii satisfont aux inégalités, toujours compatibles.

i_£>I, ,_!- 1, l' + l — '^ ,

ï

Ces deux fonctions, (jui n'existent qu'à l'intériçur'cbi cercle fondamental, sont holomorphes à l'intérieur de ce cercle.

Sia=p = y = oo, r('(]uation ( i) se raïuène à l'iMpialicui (|ui détermine les périodes de sinaniT eu fonction (bi carié (bi module.

.Je ramène ensuite aux fonctions tliétafio lisiennes ces invariauls aritlimé- tiques que j'ai définis dans une Note (pic j'ai eu l'Iiimneur de présenter à l'Académie en novembre l'S"!)-

Soit J''"(;) une fonction fiiclisienne (juelconque; posons x = ¥{:■).

J'appelle système de fondions zétafuclisiennes tout système de fonctions 81(5), ^2{^)i ■ ■ ■ 1 S«(-) uniformes en z, et telles (pie le déterminant

rf=<.0,	^«,6,	d-^..l),
dx^>	<rte*>	dX<^n
rf«.Û,	d'^.O,	rf»..e.
dxO->	dx^>	dX^:.
d^,^n	d^,()„	«:==..()„

dx^< dx^<

dx'^''

Sun LES FONCTIONS FtICIISIENNES. 7

S(iit une fonction fiiclisiennc de ;, quels que soient les entiers a, , a^, ..., a„.

Il est clair que 9,, 83, ... , 0,, satisferont à une cqiuilion difFérentielle linéaire dont les coefficients seront alf;él)ri(jues en x.

Je démontre f[ue l'on peut former une infinité de fonctions zétafuchsiennes dont je donne diverses ex|)ressions jiar des séries, et qui permettent d'intégrer une infiuiti- d'i'cpiatlons difierenlielles, entre autres toutes les équations diJJ'éventielles linéaires à coefficients rationnels (jui ne présentent que deux points singuliers à dislance finie et un à l'infini.

Donnons une application particulière.

Soient K et K' les périodes fl'une fonction elliptique, 10 le carré de son module.

Soit » un algorithme tel que

Soit une équation difTércnlielle linéaire à coefficients rationnels ayant pour

points singuliers

r = o, X = I, r = oc.

Posons T=3o(;), et soient 0, (;), 62(;), . . . , 0„(j) les intégrales de l'équation proposée :

«(;) sera une fonction fuclisienne, 6|, 9^' •••• 9« ''es fonctions zétafuch- siennes.

Ces fonctions n'existeront qu'à l'intérieur du cercle fondamental.

Elles seront holomorphes à l'intérieur de ce cercle et, par conséquent, pour- ront toujours être représentées par des séries entières dont les coefficients sont aisés à calculer.

En résumé, il existe une classe très étendue de fonctions dont les fonctions elliptiques ne sont qu'un cas particulier. Elles permettent d'intégrer un grand nombre d'équations différentielles. Différentes propriétés font ressortir leur analogie avec les transcendantes elliptiques et celle des fonctions théta- fuclisiennes et zétafuchsiennes avec les fonctions 0 et Z.

SUR UNK NOUVELLE APPLICATION

KT

QUELQUES PROPRIÉTÉS IMPORTANTES

FONCTIONS FUCHSIENNES

Ccimples rendus de l'Aeadëmie des Sciences, t. il?, p. Sjg-Sfii (4 avril i8Si).

Considérons un !;rouj)c: l'uclisicn G quelconque et les didérenles fondions fiichsienncs qui correspondent à ce f;roupc. Je suppose que G soit tel que toutes ces fonctions fuclisiennes n'existent qu'à l'intérieur du cercle fonda- nienliil. Toutes ces toncti<jns fuclisiennes seront lié(;s par des équations ali;é- l)ri(pies et sciiinl Ion cl ions la lion ne lies de deux d'entre idies, ipu: j'appellerai x et j', et entre lesipiellcs il \ iiuia une relation ali;éliiiqiic

Cl) /(^,y) = o.

Si l'un pose

(;; étant rari;uinciit des fondions fuclisiennes), t, et (^ seront les intégrales d'une ér|uatioii liiii'aire

» étant rationnel en x cl y.

Envisageons une intégrale alx'liennc fie première espèce

NOUVELLE APPLICATION ET QUELQUES PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS FUCHSIENNES. 9

Remplaçons-y x et y par leurs valeurs en fonction de^; « deviendra holo- inorphe en :; et jiourra, par conséquent, être représenté à l'intérieur du cercle fondamental par une série ordonnée suivant les puissances de z. L'emploi des fonctions fuchsiennes nous donne donc l'intégrale u sous la forme suivante :

" = «'(^'' ■^ = w

9,, ôo' ^3 <-'t;>ut des séries ordonnées suivant les puissances de ; et toujours convergentes.

Quand z subit une opération quelconque du groupe G, le point (x, y) décrit un cycle, et, par conséquent, u augmente d'une période. Considérons le groupe des opérations qui consistent à augmenter u d'une période. Ce groupe, d'après ce qui précède, d<nra être isomorphe au groupe G.

Si. par conséquen t , le groupe G est dérive de moins de 2 p -h 2 opérations , l'intégrale u ne pourra avoir 2/? +2 périodes distinctes, et. par consé- quent, la relation (i) sera au plus du genre p.

Cette limite peut, le plus souvent, être abaissée, car, pour que l'isomor- pliisme dont j'ai parlé plus haut puisse avoir lieu, 11 faut, dans certains cas, qu'il y ait entre les périodes de u certaines relations linéaires, de sorte (jue ces périodes cessent d'être distinctes.

C'est ainsi (jue la relation (i) peut être du genre zéro, bien que le groupe G soit dérivé d'un nombre quelconque d'opérations.

Par conséquent, les fonctions fuchsiennes permettent d'intégrer une inlinilé d'équations telles que (2), où o est rationnel en x, et non plus seulement en X et en >-, bien que ces équations présentent un nombre quelconque de points singuliers.

Ainsi, si a, b, c et les coefficients sont convenablement choisis, si la difié-

rence des racines des équations déterminantes relatives à chacun des points

singuliers

a, 6, c, 00

est une partie aliquole de l'unité, l'équation

d\y TA. A' B B' C C

rfa:î '^

r A A' B B' C C "I

\_{x — a)' r — a (x—b)^ x — b (r — c)' x — cj

est intégrable à l'aide des fonctions fuchsiennes.

Je citerai aussi, parmi les équations inlégrables à l'aide des fonctions fuchsiennes, certaines équations à coefficients doublement périodiques. H. P. - II. 2

lO NOl'VELI.E APPLICATION ET QUELQUES PROPIIIÉTÉS DICS FONCTIONS FUCIISIENNES.

M. Picard a démontré que ces ('(iiMiiDus s'iniéjçraienl par les fondions ellip- tiques toutes les fois qu'il n'y a d'autre point singulier que des |)àles. Elles s'intégreront par les fonctions fuchsiennes et zélafuchsiennes s'il n'y a que des pôles et un i)oint critique algébrique. Elles s'intégreront aussi à certaines condil i()u> ([iiaud mèuie il y aur.iil plus d'iiii point crllifiuc algébrique.

Nous avons trouvé plus liaul iiuc I nui le sii|){riciir(' du genre de la relation (i). I3'aulres considérations fournissent une liiiiitc inférieure. Dans tous les e\ein|)les que j'ai eu l'occasion d'étudier juscpi'ici, ces deux limites coïncident, de sorte que l'on connaît exactement le geiiic de la relation (i). Tout ce qui précède, je le répèle, ne s'applique qu'à (elles des fonctions fuchsiennes qui u'ex-isieut uu à l'intérieur du cercle fondaiiiculal.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie dex Sciencex. i. '.]2, p. 957 (iS avril rSSr)

J'ai cluilié t'ii [liirl irulicr les toiiil liiii> tuclislcMiues y (;) tell('> nue, si l'on pose

.^•=/U). ., = /f, ^. = .^/^

Y\ et Tj satisfassent à une é(|iialion de la forme

C9 elanl rationnel en x.

J'ai reconnu : 1" que les points singuliers de l'équation (i) qui sont les

infinis de v>{x) sont tous réels; 2" que l'on peut choisir y (;) de telle façon que ces infinis de ^{x) soient aussi nombreux que l'on veut, et aient telles valeurs réelles que l'on veut.

En introduisant les fonctions zétafuchsiennes qui correspondent à ces fonctions f{:-). on intègre toutes les équations linéaires à coefficients rationnels dont tous les points sini;uliers sont réels.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 9Î, p. 1198-1200 (23 mai 1881).

Parmi les l'ourlions tuclisiennes, il cii est qui jouissent de certaines pro- priétés spéciales sur lesquelles je désire attirer l'attention.

Soit un plan dont les dillerents points représentent la variable imaginaire 3, et, dans ce i)lan, le cercle fondamental dont le centre est l'origine et le rayon l'unité.

On pourra tracer dans ce plan l'axe des quantités réelles Ox et une série de cercles C,, Cj, ..., C„, définis de la manière suivante :

1" Ils coupent tous le cercle fondamental orlhogonalcmcnt. 2° Le cercle C| coupe Ox en a, et p, sous un angle — • 3" Le cercle C,- coupe le cercle G,,, en a,- et p,- sous un angle X,. /^" Le cercle C„ coupe Ox en a,,^, et j3„^, sous un angle -^■

Je suppose que cliacun des angles )>,, \.,, ..., )>„+, est une partie ali(piote de 2- et que

(1) Xi-l-îXj-t-lXj-r-. ..-H2>.„-t-X„ + ,<'27:(n — I).

Grâce à l'inégalité (ij, il est toujours possible de tracer la figure que nous venons de définir.

SUR LES FONCTIONS Fl'CHSIENNES. l3

Cela posé, définissons n + i fonctions de z, j,, z^, ■■■■, Zn+\ par les équa- tions suivantes :

■ fi/H I

/ j — a„4.|\

D'après la théorie générale des fonctions fuclisiennes, exposée dans un Mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie dans la séance du i/\ février 1881, il existera une infinité de fonctions F(^), uniformes en 5, n'exisiiuit qu'à rint(''i'ieur du cercle fondamculal, niéromorphes à l'intérieur de ce cercle et jouissant de la propriété suivante :

Entre deux quelconques de ces fonctions, {Wxci. fonctiotis fuclisiennes^ il y a une relation algébrique. Si, de plus, on pose

r=F(ô), y: on aura {■^■) -^=yo(x),

C5 étant algébrique en x. de sorte que la fonction F(;) permettra d'intégrer l'équation (2).

Quel sera le genre de la relation alg(''l)ri(pie qui existe entre deux fonctions fuchsiennes cpielconqucs ?

Soient u et v deux de ces foncli(jns et

(3) f{u,v)=.o

la relation qui les unit ; soit enfin

/ ^(u,v)du = G(3)

une intégrale abéliennc de première espèce dérivée de la relation (3). (j{z) n'existera qu'à l'Intérieur du cercle fondamental et sera holomorphe à l'inté- rieur de ce cercle. On démontre que toutes les périodes doivent être nulles ; la relation (3) est donc du genre o et toutes les fonctions fuchsiennes peuvent

'4- SUR LES FONCTIONS Fl'CHSIRNNES.

s'exprimer ratioimrlloiiioiil par l'une d'entre elles. Nous ;uliè\er(ins île diMiiiir F(:;) par les eouditions suivantes :

i" F(;^ sera l'une des fonctions fuelisienncs à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment rationnellement.

9." On aura

F(c<,) = o, F(oc5) = i, F(a3) = oc.

Il en résultera rpie, dans l'équation (3), co sera rationnel en x et que les points singuliers de l'équation (2) seront

F(a,), F(a,), ..., F(a„), F(a„+,).

De pliis. la fonrlinn V ( z) reste réelle loul le lonj; des cercles C, , Cj, ..., C„, et, par conséquent, les points singuliers de l'équation (2) sont tous réels. Enfin on peut profiter des éléments qui restent indéterminés de telle sorte que F(ai), ¥(0.2), ..., F(a„^.,) deviennent respectivement égaux à « + i nombres réels quelconques donnés.

Dans le cas particulier où >i = 2, i'(''quallr)u (2) se réduit à l'équation hyper- géométrique de Gauss et F(z) se réduli h cette fonction particulière sur laquelle j'ai appelé spécialement l'attention dans ma Note du i4 février et dont M. Halphen a fait ressortir les propriétés les plus importantes dans une Note insérée aux Comptes rendus le 4 avril 1881.

Si, de plus, on suppose

Xj = X2 = X, = o, ht lunction

F,

\-3

se réduit à la fonction modulaire.

Ne su])|)os()ns plus n = 2, mais supposons

A, = ),j = A3 = . . . = A„ = ),„+i = o;

les |)ciints a,, y..^ a„^, seront rsjelés sur le cercle fondamental. La fonction

y{s) ne |jourra prendre, à l'intérieur de ce cercle, aucune des valeurs

F(ao, ^(«2), •••, F(a„+,)-

Supposons donc une équation diU'érentielle linéaire à coefficients rationnels en X et dont les points singuliers soient

ar==F(a,;, x=F(a,). ..., x = F(a„+,),

SUR I.KS FONCTIONS FICHSIRNNES. l5

on y fera

x= F(z).

Les intégrales de l'équation proposée seront des fonctions zétafuchsiennes de -:, qui n'existeront qu'à l'intérieur du cercle fondamental et seront holo- niorphes ù l'intérieur de ce cercle.

Cette méthode permet d'intégrer toutes les équations difTéreatielles linéaires à coefficients rationnels toutes les fois que tous les points singuliers sont réels.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, l. 'J2, |i. 1271-137(1 (3n mai iSSi).

Dans la dernière JNole fjiie |'ai ou riinniiciir de |iréseiil('r h rAcadéniie, j'ai montré comment certaines classes de lonetious fiiclisi(Mmes et zélaf'uclisiennes permettent d'intégrer une équation linéaire à cocliicients rationnels, si tous les points singuliers sont réels. Je veux, aujourd'lnii, définir une classe plus étendue de fonctions fuchsiennes qui permet l'intégration dans des cas beau- coup plus généraux.

Supposons un polygone curviligne dont les côtés soient successivement A,, B|, Aj, Bo, ..., A„, B„ ; je suppose que ces côtés sont des cercles coupant orthogonalement le cercle fondamental; j'appelle a,- et pi les deux intersec- tions des cercles A,- et B,-, X,- l'angle correspondant du polygone curviligne et 0- la somme de tous les angles de ce polygone ; je suppose que Xj et 0- — (À, -I- 5.2+ •■• + Kl) sont des parties aliquotes de 27c.

Je définis n fonctions de ; par les écpiations

= e''V-| — (i = 1,2, . . ., n).

On verrait, comme dans la Note précédente, qu'il y a une infinité de fonc- tions uniformes de z satisfaisant aux conditions

F(-) = F(i,) = FU2)=...= i-r;„)

et que toutes s'expriment rationnellement en fonction de l'une d'entre elles.

En faisant tendre les )> et <r vers zéro, on (jhlienl à la limite des fonctions

remarquables sur lesquelles je veux attirer l'attention. Sur le cercle fonda-

SIR I.HS KONTIIONS FUr.HSlIÎNNES.

mental je marque 2« points a,, jj,, an, 82, .... a,, , 3«, et je suppose qu'on les rencontre dans l'ordre que je viens d'indiquer, en suivant le cercle dans le sens positif; ces points devront satisfaire à la condition suivante, .le joins le point p, à 'fin, ^3, ..., |3„ par des cercles y,, y,, ..., y„ normaux au cercle fondamental ; je joins de même p^ •' ^s- ^:t à ?i? •••î Hh-i î» ?„ par des cercles S3, 04, ..., o„ normaux au cercle fondameulal ; par les points a,, a^, ..., a„ je mène des cercles G|, C2, ..., G„, coupant ortiioi;onalement les cercles (onda- mental et normaux respectivement à y2. Oj, o,, ..., 5„, y„ ; par l'intersection de C| et Co je mène un cercle D,, normal au cercle fondamental et à ys ; par l'intersection de Cj et de D3 je mène D..,, normal au cercle fondamental et k y.,, etc. : D„ devra passer par a„ cl se réduire, par conséquent , à C„. Je définis n fonctions de ; par les équations

— (j = I. 2, . . ., n).

Il existera une infinité de fonctions unilormes de .; telles que

F(z) = F(.-,) = F(.-0=...= F(5,0, d'où

F(?,) = F(3,)=...= F((3„).

Toutes s'expriment rationnellement par une tl'cntrc elles cjuc j'appelle F(3) et que j'achève de iléfinir par les conditions

F(a,) = o, F(o(,) = i, F(a3) = ».

Cette fonction sera holomoi'phe à l'intérieur du cercle fondamental ; elle ne pourra, à l'intérieur de ce cercle, devenir égale à aucun des nombres

(I) F(«.), V(:^,_), ..., F(a„), F(lî,).

Si donc, dans une équation linéaire à coefficients rationnels en x n'ayant d'autres points singuliers que les nombres (i), on sui)stilue F(;) à la place de X, l'intégrale sera une fonction zétafuclisienne de :.

F(z) dépend de 2« — 3 paramètres, à savoir les rapports anliarmoniques de oLi, aj, ..., a.,i, 8,, [3o, .... ^i„ par rapport à a,, aj, aj ; à cause de la condition énoncée plus haut, 11 reste a/i — \ paramètres indépendants. En ex[)rimaiit que les parties réelles et imaginaires de

F(aO, F(»5), ..., F(a„), F(p,)

ont des valeurs données, on a 2« — -4 équations qui déterminent ces 2« — 4 paramètres.

H. p. — II. 3

'8 SUR l,IÎS FONCTIONS FtCHSIENNES.

Si j'anii-e à démontrer que ces équations ont toujours une solution réelle, j'aurai montré que toutes les équations linéaires à coefficients algébriques s'intègrent par les transcendantes fuchsiennes et zétafuch- siennes.

.le voudrais douiier quelques ('■claircisseinenLs sur ma [irécéileute Cmniuuui- cation. J'y parle de la fonction 1* (^) (jnantl tous les \ sont nuls : j'entends la limite de 1' (;) quand tous les ). tendent vers zéro. J'ai dit que les quantités r (a,), F^ao), .... F(a„^,) peuvent prendre des valeurs réelles quelconcjues : cela n'est vrai que quand tous les 1 sont nuls.

Une dernière remarque : j'ai l'ait voir que les coordonnées d'un point d'une infinité de coui-bes algébriques s'exprimcul par des fonctions fuchsiennes d'un même paramètre (de même que les coordonnées il'un point d'une courbe de genre o s'expriment par des fonctions rationnelles et celles d'un point d'une courbe de genre i par des fonctions elliptiques) : parmi les courbes qui jouissent de cette propriété, il y en a de tous les genres possibles ; mais je ne sais pas encore si cette propriété appartient à une courbe algébrique quel- conque.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 92, p. 1484-1487 ( 27 juin 1881 ).

I. Dans le Mémoire que j'iii l'hunnciir de présenter à l'Aciuléinic, je com- mence par donner une l'orme nouvelle à la règle que j'avais exposée dans mon premier travail pour la formation des groupes tuchsiens.

J'appelle X l'axe des quantiti's réelles.

Soient rt, b deux quantités imaginaires, a', b' leurs conjuguées ; je pose

a — a' b — b'

(a,b) =

a — b' b — a'

Envisageons deux arcs de cercles ab et cd ayant leurs centres sur X ; si

l'on a

(a, b) = {c,d),

il y aura une substitution linéaire à coefficients réels qui changera ab en cd.

Je l'appellerai la substitution

{a,b; c, d).

J'envisage maintenant un polygone curviligne situé tout entier au-dessus de X et dont les côtés sont de deux sortes : ceux de la première sorte sont des arcs de cercles ayant leurs centres sur X ; ceux de la seconde sont des segments de l'axe X lui-même.

Les côtés de la première sorte sont au nombre de 2n; deux côtés consécutifs de la première sorte sont séparés :

1° Soit par un sommet situé au-dessus de X et que j'appellerai sommet de la première catégorie ;

20 Sun LES FONCTIONS FI CllSIF.NNF.S.

a° Soit par un sommet situé surX et que j'upiu'llfrai .sommet de la seconde catégorie ;

3° Soit ]>ar un (("ilé île la seconde sorte (Jik: j'appelleiai. |i()iii' uniformiser le langage, sommet de la troisième catégorie.

Grâce il cette coinention, il est clair que l'on rencontrera, en suivant le périmètre du polygone, allcrnatix emeni un côté de la première sorte el un sommet de l'une des trois catégories. Le côté qu'on rencontrera après un sommet donne sera le côté suivant; le sommet qu'on rencontrera ensuite sera le sommet suivant, et ainsi de suite.

Je suppose qu'on répartisse d'une façon quelconque les côtés de la première sorte en paires et qu'un côté soit dit conjugué de celui qui appartient à la même paire. Je sujtposc maintenant qu'on répartisse les sommets en cycles de la manière suivante. On partira d'un sommet quelconque; on envisagera le côté suivant, puis son conjugué, puis le sommet suivant, puis le côté suivant, puis son conjugué, puis le sommet suivant, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on revienne au sommet primitif. Tous les sommets rencontrés de la sorte appar- tiendront à un même cycle.

Je suppose :

1° Que tous les sommets d'un même cycle sont de la luême catégorie;

■>." Que, si tous les sommets d'un cycle sont de la première catégorie, la somme des angles correspondants du polygone curviligne est une ])artie aliquote de 2tî;

3" Que, si Uibi et a\b'i sont deux côltis tl'unc même paire, on a

fa,-, &,) = («;, 6',). A ces ciindilions, le groupe dirivé des sulislitutions

(«,/!»,•; a), b)) sera un groupi' I uiiisieu. el l'iui ohl leiulr.i de la sorte tous les groupes iuclisiens.

II. Je discute ensuite les ■?.n — 4 équations doul j'ai parl<' dans ma Note du 3o mai. Su|ipii>ant n = 3, je uu)ntrc qu'elles diU loujour-i une solution ri'elle. Je UKJMtre fpie les fonctions tuchsienaes el zétafuclisiennes peuvent servir à intégrer une équation linéaire à coefficients rationnels, pourvu que tous les points singuliers soient sur un certain nombre de cercl<;s se coupant en deux points a (il b sous des angles commcnsurables avec au.

Sin LKS FONCTIONS FICIISIENNES. 21

III. Dans une Lcllre que M. Klein, de Leipzig, m'a f;vit riionneur de m'adresser, je remarque le passage suivant :

Nehmen Sie ein beliehiges Polygon, begriinzt voii irgerid wclcheii sich berûhrendan (deux à deux) Kreisen ; so ivird die Vervieljâltigutig dtirch Sytnmetrie zu einer groupe disconlinu y«7i/cvi.

J'ajoute une condition que M. Klein n'a pas énoncée, mais qui ne lui a sans doute pas échappé : si l'on prolonge deux quelconques des arcs de cercles qui limitent le polygone, ils ne doivent pas se rencontrer. La remarque de M. Klein est aisée à vérifier, et Ion en déduit immédiatement le lliéorème suivant :

Soit une équation

ax- [(.r — rt,j- (x — a-,)- (.r — a,,)- x — ((, X — a„ \

Je suppose :

i" Ql

SB,= SA,+ SB,o,= 2SA,«,+ SB,a, = o,

Al = A., = .. .= A^ = — -;

2" Que les B et les a sont réels ;

3" Qu'ils satisfont à certaines inégalités ;

X sera alors fonction uniforme du rapport des intégrales.

J'ai clierché à généraliser le résultat de M. Klein, cl voici à quoi je suis arrivé :

Soient 7.71 cercles Ci, C., ..., C,j, C',, C^, ..., C'„ qui sont extérieurs l'un à l'autre ou se touchent extérieurement ; tout groupe dérivé de n substitutions linéaires dont la t'"™' change la partie du plan extérieure à C,- en la partie intérieure à C^- sera discontinu. 'Cela arrivera en particulier si les in cercles se touchent deux à deux de manière à circonscrire un polygone curviligne limité par des arcs de cercles a,, as, ..., a„, a',, a',, ..., a'„, appartenant i-espec- tivement aux cercles Ci, C^, ..., C„, G',, C',, ..., C^, et si la /'^"" substitution change a,- en a!- .

Il existe des fonctions qui ne sont pas altérées par les substitutions de ce groupe et que je propose d'appeler fondions kleinéennes, puisque c'est à M. Klein qu'on en doit la découverte. Il y aura aussi des fonctions thêta-

aa Sun les fonctions ftchsiennes.

kleinéennes et zétakleinéenues analogues aux fonctions thétafuchsiennes et zétafuchsionnos.

Grâce à cette j;éncralisaliou, je montre que le théorème relatif à l'équa- tion (i), déduit de la remarque de M. Klein, est encore vrai quand même la seconde condition n'est pas remplie. Je montre aussi que les fondions klei- néennes intègrent un grand noinl>re d'autres équations linéaires à coelTicients algébriques, et entre autres des équations à intégrales irrégulières.

SUR

LES GROUPES KLEINÉENS

Comptes rendus de l'Acadcmie des Sciences, l. 93, p. 44-4*' ( " juillet i8Si

Dans mes précédentes Comniunicalions, j'ai montré comment on pouvait former tous les groupes fuclisiens, c'est-à-ifire tous les groupes discontinus formés de substitutions de la forme

(0

{ces substitutions étant assujetties à ne pas altérer un cercle fixe appelé cercle fondamental). Une remarque de M. Klein, que j'ai citée dans ma dernière Note, m'a amené à rechercher tous les groupes discontinus formés par des substitutions de la forme (i) (sans condition relative à un cercle fonda- mental), groupes que je propose d'appeler kleinéens. Je vais montrer comment la pseudogéométrie de Lobatschewsky, qui m'a servi à trouver les groupes fuchsieas, peut me donner la solution du problème plus général que j'aborde aujourd'hui.

1. J'écrirai, pour abréger, ^5 et pst pour pseudogéométrique et pseudo- géométriquement. J'appelle plan ps toute sphère ayant son centre dans le plan des xy, droite ps l'intersection de deux plans ps ; l'angle ps de deux courbes est égal à leur angle géométrique. SI l'on considère deux points quelconques a et 6, on pourra par ces deux points mener une droite ps qui coupera le plan des icy en deux points celd; le demi-logarithme du rapport anharmonique de a et 6 par rapport à c et c? sera alors leur distance jD5. J'appelle polygone ps une portion de plan ps limitée par des droiles ps , polyèdre ps une portion de

a4 sni i.Ks (iHoiU'KS ki.i:im;h;ks.

l'espace sitiu'c tout eiitit'ic au-dessus du plaii des ,rv' «'1 liniilée par des pliins /).s' (iu par le plan des .ry. Deux lij^ures sonl pst éijales i|uaii(l on pcul élablir enlre elles une eiirre^poïKJaiicc pmul jiai- polul el de leli<' sorte que les distances yw soieiU eouservées. (Iràee à ee> déliait ions, les lliéorcmes de Lobatschewsky Irouxeut leur apjilicalion conerèle (voir les travaux de M. Klein sur ce sujet dans les Mdthcmalische Annalen).

2. Considérons une sid)sl itiil lou de la loi'iiie (i). Soit

et ron^idi'rons x et j' comme les coordonnées d'un point dans un plan. La sul)s- lilulioii ( 1 I transformera Ions les cercles en cercles. Prenons maintenant dans Tespace nn point A : par ce point, je puis faire passer une infinité de plans jos ciiil \ iendront couiier le plan des j')' suivant différents cercles C. Ces cercles' seiiint eliani;i''s jiar la sulisl itui ion (i) en d'autres cercles C. Tontes les sphères (Mil ont même centre' et iiiiwne rayon que ces cercles G' viendront se couper en un iiiènie point B. A la sidistitution (i) correspondra dans l'espace une trans- formation (A, B) qui changera toute figure de l'espace en une figure j55< égale. V un groupe discontinu de substitutions (i) va donc correspondre un groupe discontinu de transformations (A, B).

3. Pour construire tous les groupes discontinus de transformations (A, B), il fiut diviser l'espace en polyèdres ps , pst égaux entre eux. Envisageons nn de ces [jolyèilies ps ; je distinguerai [)armi ses faces celles de la première sorte, qui sont formées de [)lansy;.v, et celles de la seconde sorte, formées de i)ortions du plan XY ', les faces de la |iremière sorte poiiri'onl ("tre distribuées en paires, comm(' cela a lien puni- les polygones curvilignes envisagés dans la théorie des groupes fucbsiens ; deux laces appartenant à la même paire seront dites conjuguées el devront être ])sl égales entre elles. Les arêtes pourront être di>tribii('es en cycles de la façon suivante. Partant d'une arête quelconque, on considère lune de> lace-, passant par celle ai('le, puis la face conjuguée, et dans cette lace conjuguée l'arête homologue di' celle qui a servi de point de départ, puis une autre lace passant pai- cette arêle, puis la lac(' conjuguée, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on l'etoiiibe sur l'arête qui a servi de point de départ. Cela posé, on trouve une condition nécessaire et suffisante pour que le polyèdre /M considéré donne naissance à un groupe discontinu. Il faut que la

SUR LES GROUPES KLEINÉENS. 25

somme des dièdres correspondant aux diverses arêtes d'un même cycle soit une partie aliquote de 2 tt.

4. Les considérations qui précèdent permettent d'obtenir tous les groupes discontinus de transformations (A, B). Pour que le polyèdre /)s que nous venons d'envisager donne naissance à un groupe discontinu de substitutions (i), il faut, en outre, que l'une au moins des faces de ce polyèdre soit une portion du plan des xy.

5. Appliquons ces principes à un exemple simple. Je suppose im polygone curviligne dont les côtés sont des arcs de cercles, et je me demande à quelle condition ce polygone engendrera un groupe discontinu par l'opération que M. Klein appelle la Ver^'ielfdltigung durch Synimetvie. Je prolonge les arcs de cercles de façon à former des cercles complets, puis j'envisage les sphères qui ont mêmes centres et mêmes rayons que ces cercles. Ces sphères limiteront un certain polyèdre /js dont tous les dièdres devront être des parties aliquotes de tï. Les principes qui ont permis de déduire de l'existence des groupes fuchsiens celle des fonctions fuchsiennes, thétafuchsiennes et zéta- fuchsiennes sont applicables aux nouveaux groupes kleinéens.

HP

SUR UNE FONCTION ANALOGUE

AUX

FONCTIONS MODULAIRES

Comptes rrndiis <le l'Arademir des Sciences, t. !I3, p. i'S-i/|0 (iS juillpi, iSSi).

Soit l't'cjiuil ion liiK'airc

Ll = 0 1=0 J

ou je suppose

SB,= S«,B,— ^^ = ^af B,- i Sa,

4 -^

de telle façon que x=^<X) ne soii pas un point sinr;ulior. Je jiuis toujours supposer

«0=0, «1=1, «2=2,

car, si cela n'était pas, un cliangement linéaire de variable amèncrail aoi^i et Oj à être égaux à o, i et 2.

Joignons maintenant le point ao=o aux points singuliers ai, dj, ..., «„ par des arcs de courbe G,, C2, ..., C„, de telle façon que ces arcs ne se coupent pas et se succèdent autour de a^ dans l'ordre circulaire G,, G2, • • • , C„. Faisons maintenant décrire à x le contour suivant : partant de (la-, rclto variable suivra l'arc G| et rcvieiidr.i à (!„ par ce même arc après avoir (h'crit un |)etil contour autour de «i ; (die (h'crira ensuite l'arc G^, tournera autour de O2 <^t reviendra à «0 en suivant le même arc G^ ; puisde même de chacun des arcs G3, G,, ...,G„.

Elle occupera ainsi successivement les positions suivantes :

rt,i (i"fois), «I, a^ {•>!' fois), «,, a^ (3' fois), «3. ...,

rto («'""" fois), n,„ n^ [(n + i)""'" fois].

SUB UNE FONCTION ANALOGUE AUX FONCTIONS MODULAIRES. 27

Soient

pi, «1, p2, «j, ^3, aj, ..., p„, a„, (3,

les valeurs correspondantes d'une fonction ; que je définis comme le rapport de deux intégrales de l'équation (i).

1" Si l'on regarde les a comme des constantes, de telle sorte que les a et les p soient fonctions des B seulement, les a et les ^ seront des fonctions holomor- phes des B pour toutes les valeurs finies de ces quantités.

2" Ne considérons plus maintenant les a comme des constantes ; mais, au lieu de regarder les a et les fj comme fonctions dos a et des B, considérons au con- traire les a et les B comme loiiclions des a et des [j :

a,-= !»,(ai, pi, ..., ï„, |î„), B, = '>,(a,, p,, ...,a„, p,,)-

Remarquons d'abord que les variables a et p ne sont [>as indépendantes, mais qu'il j a entre elles la relation

(2) (p,-a,)(3,-a2)...(p„-a„) = (c(,-p,)(«2-P^i)--.(«„-i-p«)(a«-Pr)-

Les (5 et les A seront des fonctions luiijoitrs nnijor/nes et nu'runiurj)lic.'n\cs variables a et p liées par la relation (a). Ce système de fonctions uniformes me parait jouer, par rapport aux iulcgrales de l'équation (i), le même rôle que les fonctions modulaires par rappcut aux intégrales elliptiques.

3' Les fonctions es et à ne changent pas (juand on change les a et les ^ dételle façon que le rapport anbarmoniqiie de (piatre de ces quantités demeure inva- riable.

4° Les fonctions es et <l ne changeront pas non plus quand on fera subir aux a et aux 8 des opérations con\cnables, et il résulte de là, pour ces fonctions, de rcmanuiablcs propriétés d'invariance. Dans le cas général, l'énoncé de ces propriétés m'entraînerait trop loin. Supposons donc n ^= 3 pour fixer les idées.

Soient a',, jj',, a',, P'.,, a'^, [i'.^ des quantités définies par les équations

a'i = ai, ai = 0:3, p; = Ps, I I I I

p'i - ^1 1		p3 — «1 I
a'; — a, 1		ïj — a, 1
ai-=<3		< — a, I

I

h'I — I

P3- I

h- I	-ai
pj—	a,
p.- 1	«3

P'3— ='3 P'i — «3 p3— «3 Pl

a8 Sim UNE fonction ANALOClili AUX FONCTIONS MODULAIRES.

OU aura

<p(a',, P',, =<;, p'„ a'3, p',) = 9(a„ p,, a^, [3,, a„ p,),

^(a',, j3',, a'„ Pi, a'„ |î'3) = +(a„ P,, «j, ^,, a„ pj).

Oo lotto relation d'invariance on peut en déduire deux autres par des permutations circulaires d'indices. En combinant ensuite ces trois équations d'in\ariaiice, on en obtiendra une infinité d'autres.

.")" Si les a et les j3 sont réels cl de telle sorte tjue

(3) p,<«i<P2<=c2< P3<a3<...<P„<a,„

X sera fonction luchsienne de Z-.

Si les a elles p sont imaginaires, maissuffisaninienl voisins tic quantités réelles satisfaisant aux inégalités (3), x sera encore fonclinu uniforme (kleinéenne) de z ; si, au contraire, les a et les 3 s'éloignaient trop de valeurs réelles satisfaisant aux inégalités (3), x cesserait d'être l\)netion uniforme de z.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Complet rendus de l'Académie des Sciences, l. 'J3, p. 3oi-,'io3 (8 anùt i8Si).

Dans ma Communicalion du 3o mai dernier, j'ai monlni que le problème de l'inLégralion des équations diH'érenticlles linéaires à coefficients rationnels se ramène au suivant :

Construire une fonction fuchsicitne F (z) ne pouvant prendre aucune des n valeurs données

Si l'on assujettit, de plus, V (:;) à pouvoir [irendre toutes les valeurs possi- bles à l'exception des valeurs (i), le nombre des paramètres dont on dispose est égal à celui des conditions que l'on s'impose. Si l'on ne s'assujettit pas à cette condition, le nombre des paramètres dont on dispose est infini.

Grâce à cette circonstance, il était extrêmement [)robable que le problème était toujours susceptible d'une infinité de solutions ; mais je ne l'avais encore démontré rigoureusement que dans des cas particuliers. Je vais faire voir que cela est encore vrai tians le cas général.

En eifet, je répartis les valeurs (i) en deux classes :

i" Les valeurs réelles a, , a2, . . ., a,„ ;

2° Les valeurs imaginaires a,,,.,.,, a,„^2i ^m que j'écris

(ii, Pi, ..., p,, (p = n — m). Soient P',, |3j, ..., p' les valeurs conjuguées de j3|, flo, ..., pp.

3o SlIIl LKS FONCTIONS FUCHSIENNES.

ic me pn)|)(isc de oouslruirc une lonclioii V [:■) no poiivaiil prendip aiicuiic des /Il valeurs réelles données a,, a^, ..., a,„, ni aiieiine des 2 p valeurs ima;;i- naires données (conjuguées deux à deux) j^i, . . . , [ip, [î', , .... p' . Je vais faire voir que ce problème se ramène au suivant ; Construire une fonction F, (:) ne pouiunt devenir égale ni à m -\- 2 q valeurs réelles données, ni àzp — 2 ry valeurs imaginaires données conjuguées deux à deux.

Soil, en ed'et,

<f (r) = (:r- (3,) (X - p2) . . . (^- - p„) (:r - P',) . . . (i-- p;,);

0(0;) sera un polynôme de degré ap, à coeffieicnls réels.

L'équalion

rftp dx aura 2p — i racines

dont 2 /: — I seront réelles, /• élant au moins égal à 1 ; il restera p — /• couples de racines imaginaires.

Soient

?(«!; = «1, 9(02) = n-2, .... tf(«,„) =a,„,

?(ïl)=C,, 9(Y2) = C2, ..., <6(Y2p_,)= C,,,-,

Les a seront réels ; parmi les G, 2q — i seront réels, q étant au moins égal à ;• et, par conséquent, au moins égal à i ; les 2yj — 2 q autres G seront imagi- naires et conjugués deux à deux.

Supposons que l'on ait con>lruil une fouctiou l'i(;) ne pouvant [uendre aucune des m + 2p valeurs «,,«2,..., «„,, o, G,, Go, . . . ,C2p_i, t^oniîp — 2q seulement sont imaginaires et sont d'ailleurs conjuguées deux à deux. Définis- sons une fonction F ( ::) par l'équation

9lF(^)] = F,(2).

F, (s) ne pouvant prendre aucune des valeurs G,, G2, ..., Gop_,, F(c) sera fonction uniforme de z. F|(;) ne pouvant devenir nul, F(;) ne pourra deve- nir égal à aucune des valeurs [3. Enfin F,(;) ne pouvant être égalé à aucun des a, F (z) ne pourra être égalé ii aucun des a, c'est-à-dire que F (z) satisfera aux conditions imposées.

En employant un nombre suffisant de fois le même artifice, on ramènera la construction de F(z) à celle d'une fonction F/, (z) ne pouvant prendre ni -+- ip .

SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 3l

voleurs réelles données. Or ce problème est (ou jours possible, ainsi que je l'ai montré dans ma Communication du 2,3 mai. On en conclut :

1° Que loule équalion dilTérentielle linéaire à coefficients algébriques s'intè- gre par les fonctions zétafuchsiennes ;

2" Que les coordonnées des points d'une courbe algébrique quelconque s'expriment par des fonctions fuclisiennes d'une variable auxiliaire.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 93, p. 58i-f)82 (i- octobre i8Si).

i. J'ai retrouvé par une autre voie un certain moyen d'exprimer les fonctions fuchsiennes parties séries, moyen dont j'avais déjà parlé dans un Mémoire anté- rieur, mais non dans les résumés insérés aux Comptes rendus.

J'envisage un f;roupe f'uclisicn G formé des substitutions

a,; -I- 8,''

i variant de n à l'infini, et je considère la série

^(-«) = 2 ^7^:;rs-(-^'- + »^'-^""

I — Il ^ ?n"

Si z était une constante et a la variable indépendante, cette série serait une fonction thélafuchsienne de a ; mais je regarde au contraire z comme la variable et a comme une constante. Soit

r'ï=+8/

une des substitutions fondamentales du groupe G. On trouve aisément

SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 33

Le second membre est un polynôme en z de degré 2 m — 2 et dont les coef- ficients sont des constantes, fonctions thétafuchslennes de a.

Cela posé, soit n le nombre des substitutions fondamentales de G, multiplié par 2 m — i . On pourra toujours, dans l'expression

*(3) = Ao(f(3, ao) -t- A,cp(;, a,) +. . .+ A,; (p(3, a„), clioisir les constantes A cl a de telle sorte que

(,^- + S)2'«-2*(^^^) =*(-).

Le quotient de deux fonctions telles que 'I'(^) sera alors une fonction fucli- sienne.

2. Parmi les équations linéaires de la forme

(0 rf^ = '"?(^)'

où es (x) est une fonction rationnelle de X, dont les intégrales sont régulières et dont les points singuliers sont donnés, ainsi que les racines des équations déterminantes correspondantes, il ne peut y en avoir qu'une telle que x soit fonction fuchsienne (de la première, deuxième ou sixième famille) du rapport des intégrales.

Il existe un tbéorème analogue pour le cas où cp (x) est algébrique.

3. Dans une Note que j'ai eu précédemment l'honneur de présenter à l'Aca- démie, j'ai parlé d'équations de la forme (1) dont les intégrales étaient irrégu- lières et où cependant x était fonction fuchsienne du rapport des intégrales. De pareilles fonctions fuchsiennes n'existent pas dans tout l'intérieur du cercle fondamental, mais seulement dans un espace limité par une infinité de cercles, tangents entre eux et orthogonaux au cercle fondamental.

4. Il existe une expression très simple du genre de la relation algébrique qui a lieu entre deux fonctions fuchsiennes de même groupe. Reprenons le polygone générateur du groupe, et soient 2« le nombre des côtés de la première sorte et p le nombre des cycles formés de sommets de la première ou de la

H. P. — II. 5

34 Sim l.KS FONCTIONS FtCllSIENNKS.

(IcijMi'-inc cUcmu'if ; le m'iirc sera

n + \ — p

pour K'.s rmutidiis ili' la |irciiiior(\ de la tlcuxliiiio ou <li' la sixiènic laiiiillc et

n—p iKiiir 1rs (i)iirlions des autres laiiiillcs.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. !)'i, p. iG3-i66 {3.3 janvier 1880).

Dans la Noie que j'ai riioniiciir de iirr^scnlcr- à rAradc'iiiic, je ni<' propose d'exposer uni' nnUlioile iiiiiiv(dle cl r.ipide pour cxprrinci' une fouclion liicli- sienne donnée à l'aide de séries tliétai'uclisiennes. ,1c sujjpose, pour fixer les idées, ([u'il s'agisse d'une fonction du j^cnrc o cl de la prciuièrc t'aniillc. .l'envi- sage iiuc (ipialicui du sccon<l ordre :

(,) ^ = v- ?I^] .

dx'^ -^ (x ~ a^ f (x — a-î)- . . . (X — n„ )"• '

je suppose que cp {x) csl un |)olvnomc de degré ?. n — 2, et que, pour les dille- renls poinls singuliers rt,,«2) •••i«/i)OC» '(^s inKfgralcs soient régulières, et que les diderences des racines des équations dc-terminanles soient respec- tivement

\_ \_ II

Te suppose que l'on sache que x est fonction l'udisienne du rapport z des inté- grales. On ])eut choisir :; d'une infinité de manières. On pourra toujours le choisir de telle façon que, pour z très voisin de o, x soit très voisin de «,, el se développe de la façon suivante :

(2) X = ai+ zV^+b-iZ-'V'-^ biZ^\'-' + bi,z'-V> + ....

En posant alors

3G SUR LES FONCTIONS FUCIISIENNES.

/'(;) est une i'oiiclioii fiirlisicnnc iiMifaitciiicnt déterminée ; il est aisé de cal- culer les coefficients l>.,, I/,,. h;, ... et ceux des subslilvitions du groupe fuchslen corresiMindaiii

\"' Y,c + S,/

Cela posé, envisageons la l'onction suivante :

\f(z)-a,]l,[f{z)-a,]l<...[/(z)-a^

\{z)

[/■(^)]"'l/(^)-/(-.)][/(-)-/(^2)]...[/(2)-/(^p)]

Les nombres ),,, 7.2? ■■■l'^rn m sont entiers positifs. Ils sont assujettis, ainsi que le uoiidirc /) (i(vs fadeurs du dénominateur, aux inégalités suivantes :

Les quantités z,, :--2, ..., Zp sont regardées provisoirement comme des con- stantes. Les infinis de la fonction A(:;) sont tous simples; ils sont compris

dans la formule

a,.Si+ P; g,- S; + p,- _ _ _ g,-j,,-f- p,- _ Yi -1 + 8,- fi ^s -f- 8,- Y,- 3,, -h ai

Quels sont les résidus correspondants ? Soit

[/(2) -/(^. )][/(-)-./"( -2)].. •[/(^)-/(i,.)J

A, A-, A„

On aura (3)

/(-)-/(3,) f(Z)-/(Z,) ■•■ /{Z)~/{Z„)

A, + Aj-H. . .H- Ap = o, Ai/(si) -t- A,/(Z2) -I- . . .-H kpfiz,,) = o,

l^c résidu correspondant à l'infini

Y,--/. H- 8,- sera

A/.. F (g/,)

^(Y,-3.-4-S,)-""-',

en posant, pour abréger,

SUR LKS FONCTIONS FUCHSIENNES. 37

Soit co (j:) une fonction rationnelle quelconque ne devenant pas infinie à l'inté- rieur du cercle fondamental. La fonction o{:-)A{z) jouira de la propriété suivante : elle sera égale à une somme de termes de la forme 2, r~z — ' comme on le démontre par des considérations très simples, mais qui cependant ne peuvent trouver place ici. On aura donc

/a,-s/,+ p,\

Cette identité a lieu quel que soit cs(;). Nous pouvons donc écrire en posant, pour abréger,

Cette fonction, si l'on y regarde z comme une constante, est une fonction tliéla- fuchsienne de t. Si l'on rapproche l'identité (4) des équations (3), et si l'on remarque que, dans ces équations, z,, Z2^ ■ ■ ■ -, Zp ont des valeurs quelconques, on en déduira l'existence d'une relation do la forme

I /'7/"il"'+' (5) e(0= '-^ \,[l^ [Mo+M,/(/) + M,/^(0+...+ M„^;//'-HO].

oîi Mo, M,, ...,Mjn_2 sont des constantes indépendantes de t. Les valeurs numériques de ces constantes peuvent être calculées aisément à l'aide de séries de même forme que 0 et des p — 2 premiers coefficients Z*,, 60, ... , bp_2 de la série (2). Cette méthode nous donne donc l'expression d'une fonction rationnelle de f'{z) et de f (z) sous la forme d'une série tiiétafuchsienne. Connaissant trois pareilles expressions, nous pourrons exprimer rationnelle- ment/(5) par des séries thétafuchsiennes.

On peut, par ce procédé, écrire effectivement certaines relations linéaires entre les séries thétafuchsiennes, relations dont j'ai démontré a priori l'exis- tence.

Les mêmes méthodes sont applicables, avec quelques changements, aux fonctions des autres genres et des autres familles.

SUR

LES GROUPES DISCONTINUS

Comptes rendus de l' Académie des Sciences, l. 94, p. S^ci-S^S (27 mars 1883).

Le (ondeiiipiil de mes rcclierclies sur les fonriimis f'iiclisiennes est l'étude des groupes discontinus conleuus dans le i;n)ii|)c liiu'iure à une \arial)le, c'est- à-dire dans le groupe des substitutions

\ ' ex -h d I

Les uns, les groupes fuchsieus, sont lels rpic a,h,c,d sont réels ou, plus géné- nilcriicMi. (pir liiiis snhsl ilul ions conservent un certain cercle, appelé ccrc/e fondamental ; les autres, tpie j'ai appelés Ideinéens, ne jouissentpas de celle propriété. On peut généraliser celte notion et se demander s'il n'existe pas de groupes discontinus contenus dans le groupe linéaire à deux variables, c'est- dir(' dans le grou|)e des substitutions

, / ax ■

b y -+- c a X H- h' y ■

b" y -f- c" n' X -f- b' y -t- c"

Dans une Note extrèrrieiueiil intcTCssanle, W. Picard a récemment donné un exen)|)le iFun |)areil grou|)c. Mon but est de iiiontnr (pie d'autres considéra- tions, arillimiti(|ues, algébriques ou géoiiK'tricjues, peniiettent d'obtenir Line infinité d'autres groupes discontinus.

\. Je supposerai d'abord (|ue les coefficients des substitutions (1) sont réels et que leur déterminant est égal à i. J'aurai ainsi des groupes analogues aux

SUR I.ES GROUPES DISCONTINUS. Sg

groupes fuchsiens à coefficients réels. Mais, parmi ceux-ci, il tant faire une distinction : les uns, comme ceux de la première famille, sont discontinus pour toutes les valeurs imaginaires de la variable, mais cessent de l'être pour les valeurs situées sur l'axe des quantités réelles, qui est une ligne singulière essentielle; les autres, comme ceux de la troisième famille, sont discontinus pour les valeurs réelles comme pour les valeurs imaginaires de x. Ce sont des groupes analogues à ces derniers que je vais d'abord chercber à former. Je vais chercher s'il existe des groupes de substitutions de la forme (i), à coefficients réels, qui soient discontinus pour les valeurs réelles de X et de j', ce qui entraînera également la discontinuité pour les valeurs imaginaires de ces variables, au moins dans une certaine étendue.

Pour former un pareil groupe, il j a d'abord un moyen qui s'olTre tle lui- même à l'esprit. Considérons une forme quadratique

(2) F(^,7. -)

à coefficients entiers ; elle admettra une infinité de substitutions semblables à coefficients entiers

(3) {x, y , z, ax -^ b y -(- C3, a x -{- b' y -\- c z^ a" x -H b" y -l- c" z). Les substitutions correspondantes

/ ax + by -^ c a x ^ b' y + c' \

(^,y,— Tir ;-> -r, rf «)

\ a X -^- b y ^ c a x -^ b y -\-c j

formeront un groupe discontinu. Si l'on suppose que les coefficients de la forme (2) et ceux des substitutions seud)Iables (3), au lieu d'être des entiers ordinaires, sont des entiers complexes, on obtient encore de la sorte un groupe discontinu pour les valeurs complexes de x et de y.

2. Je veux maintenant montrer comment, de chaque groupe fuchsien, on peut déduire un groupe formé de substitutions de la forme (i), à coefficients réels, et qui est discontinu pour les valeurs réelles et, par conséquent aussi, pour les valeurs imaginaires de x et de j'. Soit

(4) {x, y, z, ax -H by 4- cz, ci x -i- b' y + c' z, a" x + b"y -v- c" z)

une substitution dont les coefficients sont réels, sans être nécessairement

4o SUR I.KS (illOUl'ES DISCONTINUS.

OUli('i>. cl mil r<|ii'(i(liiil la lorinc (|Uiiili\U ii|ue

32 — xy.

Consiilcniiis Irois tjiumlilcs rebelles JC,y, z, telles que z- — xy soit négatif, et adjoigiions-lciir la cjuaulilc complexe l tléfiuic par l'équation

xt^-hizt-hy = o. A liiutc MilislilulKiii linéaire

dont les coefficients sont réels, correspondra une substitution de la forme (.'1) et, par conséquent aussi, une substitution

/ «.r + 6jK-t-c n'.r + 6'jK -t- c' \

(^^ [^'■^' a"x-^ùy-hc"' a"x-\-b"y + c")'

Si les sulislitulions (5) forment un groupe discontinu, c'est-à-dire un groupe; fuchsien G, les substitutions (G) correspondantes formeront un groupe discon- tinu G', même pour les valeurs réelles de x et de j'. Du reste, au lieu de la forme z- — xy , on pourrait en considérer une infinité d'autres. Au groupe G correspondait une subdivision de l'intérieur du cercle fondamental en une infinité de polynômes curvilignes II dont les côtés étaient des circonférences coupant ortliogonalenient ce cercle. De même, au groupe G' correspondra une subdivision d'une certaine conique (que l'on pourra toujours réduire à un cercle) en une infinité de polygones rectilignes R'. Voici comment on pourra passer de la première subdivision à la seconde : on construira la sphère qui admet le cercle fondamental comme grand cercle, et l'on projettera stéréogra- phiquemcnt sur cette sphère les polygones R. On les projettera ensuite de nouveau, mais orthogonalemenl., sur le plan de la subdivision primitive, et l'on aura les polygones R'.

l^a considération des groupes kleinéens m'aurait donné, par un procédé analogue, des groupes discontinus Contenus dans le groupe linéaire à trois variables.

Enfin, les notions qui précèdent sont susceptibles d'une généralisation très étendue. Mais, pour l'exposer ici, j'ai besoin de faire appel à certaines consi- dérations algébriques et arithmétiques, (jui feront, si l'Académie veut bien le permettre, l'objet d'une |Mocliaine Note.

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l' Académie des Sciences, l. 04, p. io38-io'|0 (lo a\ril 1S82 ).

■Te voudrais exposer ici quelques re'sultats nouveaux el les réunir ;i des lliéo- rèmcs anciens, de façon à en faire un enseinlile comprenant, comme cas parti- culiers, les résultats obtenus [lar M. Ivlein par d'autres considéralions, el exposés par lui dans deux Notes récentes ( Malli. litn., Bd. XIX et XX).

Soil une équation dillérentielle linéaire quelcon([ue

Dans celte équalion, ['„, 1', l'n-2 sont des fonctions rationnelles en x

el en j', el y est lié à x par une relation aljjéjjrique

(2) f{x.,y) = o.

D'ailleurs, une ou plusieurs des fonctions P deviendront infinies pour certaines positions du point analytique ( r. )• 1 : ce seront les points singuliers de notre équation dilTérentielle ; à cliacnu d'cuv correspondra une ('quation d('leriuin,uite doul les racines piiurioiil iMre iuia};inaires ou incommensurahles, ou bien être toutes des multiples de , n étant un eulicr positif. Dans ce der- nier cas, nous dirons que le point singulier est di- la première catégorie; dans le cas coiilr.urc, (pi'il est de la seconde catégorie, .le laisse de côté le cas où plusieurs des racines sont égales et qui correspond soit à un jioint de la seconde catégorie, soit à un point à apparence singulière.

H. P. - II. 6

4' SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. *

Il existera, en péin'ral, deux l'onctioiis l'uclisiennes F(;) pl F,(;), jouissant des propriétés suivantes :

1° Elles n'existent qu'à l'intérieur du cercle fondamental.

2° Si l'on fait x= ¥{:■),}■ ^= V,{z), la relation (2) est satisfaite.

3° Quand c reste inférieur au cercle fondamenlal, le point analytique (a;, j') lie peut passci' par aucun poiiil sini;ulii'r de la seconde catégorie.

4° Si {x. y) passe par un point sini;ullt'r de la première catégorie, F(i) et F,(;) ont leur // — 1 premières dérivées nulles.

Alors les intégrales de l'équation (1) sont des fonctions zélafuclisiennes de 3.

Supposons, en particulier, qu'il n'y ait pas de points singuliers de la pre- mière ni de la seconde catégcn-le, et que la relation (2) soit de genre p ; le poly- gone Ro correspondant à nos fonctions fuclisiennes pourra être amené à l'une des deux formes suivantes :

1° Ou bien un polygone de /f p c(jtés dont les C()t('s opposés sont conjugués, et dont tous les sommets forment un seul cycle, de telle façon que la somme des angles soit égale à 271 ;

2° Ou bien un polygone de 4 p côtés dont les C('ilés de rang 4 </ + i el •( r/ + 3 sont conjugués, ainsi que les côtés de rang 4^ + 2 el 4^ + 4 (</ étant un entier). Ici encore tous les sommets ne forment qu'un cycle, et la somme des angles est égale à 2 7t. Celte forme deR^ présente cet avantage que les différents côtés correspondent alors aux périodes normales des intégrales abéliennes de première espèce, et que la (■()usid(''rali(jn de ces fonctions fuclisiennes permet alor> de présentei- (Inuc façon simple la tii'-iii<uislral ion des relalions entre ces jx-riodes.

l.,e |)olyg(>nc ]\„ pciil rncorc prendre une liiliuiti' tranlics foiiiies se rame- nant les unes aux autres, .le cilcrai, entre aulics, dans le cas^ = 3, le polygone de i4 côtés considéré par M. K.lein.

Si /) = i, nos fonctions F et F, se réduisent à des fonctions doublement périodiques, de sorte que l'on retrouve les résultats connus sur rint('gral ion des équations linéaires par ces sortes de fonctions, el en particulier ceux de M. Picard.

On peut retrouver de même les résultats connus rrlal i\ rmeut à l'intégration algébri(pie de ces (■(piaiions. Si ces équations admetleni, eu ellet, des inté-

SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 43

grales algébriques, les séries thélazétas, par lesquelles s'expriment nos fonc- lious zétafuclisienues, se réclnisonl (relles-mèines à des séries thélafuclisiennes ; par conséquent, les intégrales r se ramènent à des fonctions fiiclisiennes de z liées à X par des relations algébriques, puisque nous savons qu'il y a toujours une telle relation entre deux ("onctions tuclisiennes de même groupe.

Supposons maintenant que notre équation ( i) admette des points singuliers; les somjnets de Rj se ré|)artiii)nt alors non plus en un, mais en |)lusieurs cycles, qui sont de la première ou de la seconde catégorie, selon ipic lr> jioinls singu- liers correspondants sont de la première ou de la seconde catégorie.

Est-ce là la seule manière d'exprimer j", y et c par des fonctions uniformes de i ? Non.

1° On peut remplacer F(;) et F|(;)par deux fonctions F'(^) et F'j (;), jouissant des mêmes propriétés, mais qui sont des fonctions kleinéennes, ou de ces fonctions fuchsiennes qui n'existent que dans une partie du cercle fonda- mental. Le passage de F(;;j à F'(; ) se fera par V Abbildnng du cercle fonda- mental sur un certain domaine.

2" On peut égaler ; à une fonction uniforme de A, et alors x, y et c sont également uniformes en /; de plus, on pourra choisir d'une infinité de manières z en fonction de i, de telle sorte que

x = §{t), y = 5y(t), r = Z(0,

,f et Ss étant des fonctions fuchsiennes et Z une fonction zétafuchslenne. Il est quelquefois plus facile de trouver la fonction ^(t) que F(;), comme j'en ai donné l'exemple dans ma Communication du 8 août 1881.

On peut enfin exprimer x et y par des fonctions fuchsiennes F( ;) et F, {z) existant dans toute l'étendue i\\\ plan ; mais je ne puis entrer ici dans tous les détails que ce sujet comporte.

SUR

LKS FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 'Ji. p. ii(JG-ii67 (34 avi'il 1882).

Panni les fondions furhsicnnes existant dans toute l'étendue du plan, cl dont j'ai parli' à la (in de ma dernière Coniniuniealion, il en est un certain noiidiic MIT lcs(niclles je voudrais attirer particulièrement l'attention. Consi- déi'ons dall^ le plan drs ; l'axe des (piaiilités réelles et 2/1 + 1 points A,,

Ao, A„, C, B,, Hj, H„. Les points A, et B, sont siiiu's sur l'axe des

(piaulités l'éelles. 1rs aulrrs sont au-dessus de cet axe. Joit;nons les points

A, A,, AjA,, A,A.„ ..., A„-,A,„ A„C, CB,„ B„B„-,, ..., B3B,, B,B,

par des arcs de ccri le a vaiil leurs ceiilics sur l'axe des rpiantités iH'clles. On obtiendra ainsi un certain poljf;(ine (■ur\ilij;ne

A,A.A3Ai...A„CB„B„B„-, ...B,B,,

dont tous les côtés seront des ai-cs de cercle ayant leurs eeiilres sur l'axe des quantités réelles, exce))l(' le côt('A,B,, qui sera un sej;nicnt de cet axe. Quant au sommet C, on peut, pour plus de symétrie dans les énoncés, le consi- dérer comme ap|)artenant soit à la s('ric des points A avec la notation A„^,, 5oit à la s(Mie dcs |miiuIs iîa\ee la luilalioii B„_j.|.

.J'appelle IJ, et |J| les intersections de l'arc A,A/^i proloni;('' avec l'axe des quantités réelles; E,, Ej les iulerseci inns de cet axe avec l'aie B, B,_,^,.

Je suppose :

1" Que le lapporl aidiaiiiioniquc des quatre jioinls D,, D|, A,, A/^, sur le

SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 4^

cercle D/D^A, A,,,., csl égal à celui des quatre points E,, E,', B,, B/^_, sur le cercle E,EJB,B/+, ;

2" Que les angles curvilignes A/+ B, sont des parties aliquoles de au. ainsi que l'angle curviligne C.

Dans ce cas, il existe une suli^lilutinn lini'aire

dont les coefficients soni rt'cis, et fpii change A,A,_^, en B,B,_,.,.

En condjinant ces /; substitutions, on obtient un groupe discontinu, et ce groupe donne naissance à une infinité de fonctions fuchsiennes qui jouissent des propriétés suivantes :

1° Elles sont toutes fonctions ralionnelles de l'une d'entre elles, que j'appelle F(;);

3" Elles existent dans Imile rc^lcndiie du plan: leur> jxiinls singuliers essentiels sont isolés et en noiidnc luliiii, ri ils sonI Imis silui's sur l'axe des quantités réelles.

Ces points singuliers soni inliniiiiriii iap|trocliés dans le \oisiiiagede certains points singuliers du driixiènie (U'dre ; ceux-ci soiil inliiiiuiciil i-.ipprochi's tiaiis le voisinage de certains points singuliers du iroisièinc ordre, et ainsi de suite. D'ailleurs, les points singuliers de tous les ordres siuit en nombre infini. Nous avons donc là un exemple de ces Jonctions du deuxième genre, dont M. Mitlag-LefUer a parlé dans sa Communication si intéressante du 3 avril. Si nous posons

on a

(0 S^*^-""^-^'

4>(x) étant rationnel en x. La fonction rationnelle $(2;) a ses coefficients réels; et les points singuliers de l'équation (i) sont au nombre de iti et sont imaginaires conjugués deux à deux. Pour chacun d'eux, les intégrales sont régulières^ cl la diUérence des racines de l'équation déterminante est une partie aliquote de l'unitc'.

Dans le cas particulier où l'un ou plusieurs des sommets du polygone

46 SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

envisagé viennoni mit l'a\c dos (|u;mlitc.s réelles, les inlégrales de l'équation (i) de\ ieiineiit loi;(iritliiiiii]iii-s dans \v voisinage des |)oiiiis singuliers corres- poudauls.

On pont tonner dos lonclions kleinéennes avant la niiMno génération ([ue les fonctions lucli^ionnos dont j<' viens do parler. J^es propriétés sont les moines. Senloinonl. los |ioin|s sini;ullors essentiels no sont plus situés sur l'axe des (juiiililé's réelles; la lonction <l>(./) n'a plus ses coeffieients réels, et les jioints singuliers de récpialion f i ) no sont plus imaginaires eonjugués deux à deux.

SUR

UNE CLASSE D'INVARIANTS

RELATIFS AUX ÉQUATIONS LINÉAIRES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, l. 94, p. iftoi-tt^oS (23 mai 1SS2)

Considérons deux équations dKVérenticlles linéaires

d"'y ,, (/'"-'y n dy „

rfa-'" rf.r'«-' dx -^

Je suppose que les Conclions P et P' sont rationnelles en af et en ^; ;; étant défini en fonction de x par une relation algébrique

Je dirai que ces deux équations sont de mrme famille, si l'inlégrale générale de la seconde peut se mettre sous la tonne

V étant l'intégrale générale de la preuiière, les Q étant des fonctions ration- nelles de X et de :■, et A une fonction quelconque de ces variables. Supposons que les fonctions P et P' soient de degré déterminé, de façon que leurs coef- ficients soient en nombre limité. Il y aura certaines fonctions de ces coef- ficients qui auront la même valeur |)()ur toutes les équations d'une même famille. Je les appellerai invariants de famille.

4S SDR UNK Cl. VSSK d'iNVAHIANTS KKI.ATIhS AUX KOUATIONS I.INKAIRKS.

Pour iiirtiil l'iT riiiiiini'iil «m pi'iil (li'lcrrinuri ri l'Iiidior les lavuruuits de taïuilli', |e v.ii» |)icu(lre l'cxemiile miii|iI(' de ri'i|iii\l Kiri

(0 ^--'r = o,

9 étant une fonclioii rallonnclh^ de x seuloineiil. Je suppose que les intégrales de celle équation soient pailoul régulières et sans logarithmes, l'armi les inlinis de 0. |c disliiiL;iu' ceux poui' lesquels la diHV'ienee des racines de 1 ('([nal ion d(''leriiiiiiaiile nest pas un entier el ipii sont les piiiiils singuliers propreineiil dils, cl ceux pour lesquels celle d illV'rence est un entier et que j'a|ipidlcrai points Mlll;llller■^ (//»/""'''" '■'■'• •''' supposerai que le point ce est un poiiil siiii;ulicr. cl ipi'il y a, en outre, /, [loints singuliers à tlislance finie, ,1e dirai ipic deux équations de la loriiie (i) apparlionnenl à la inèinc classe si les points singuliers sont les mêmes el si, pour chacun d'eux, la dlllérencc des racines de I '('■quai ion di''tcrininaiile est la iiiimiic ;i un entier près. , Je supposerai, pour i''\ lier imc diseussioii 1(11 1 ne |irésente, d'ailleurs, aucune dilliciillé, inie cette dilli'renee est lii m('me dans nos deux (■([nations pour chaque point siaguliei', el (ju'elle est égale à 2 pour chaque point apparent. Cela posé, toute classe se tlivisera en deux sous-classes, selon cjue le noinhre des points appa- rents sera pair ou impair.

Elaiil doniK^cs deux ('■cpiatKUls de la m('iue sous-classe, comhien laiidra-l-il de conditiiuis pour (pi ClIes soient de la même tainille? En d'autres termes, comhien y aiira-l-il dinx, niants de lainillc eu dcliois de ceux (pii di'^lerminent la classe? Il y en aiir.i •'. /. - \.

Soit /( le nomhre des points aiiparenis; si, outre les /i points singuliers, les h points apparents sont donnés, il restera, dans 9, des paramètres arhitraires au iiomhre de k — a. Il résulte de là (jiic, si h ^ k ( inrul '.i ) , il y aura, dans chaque l.iiiiillc. une ciiiialion canoni(jiie ipii n'aura ipic / — ■>. poinis ap|ia- renls, et si li ^ k-\- \ (iiiod', i. il y en aura une iiirniih'^ ipii auront /> — i poiul-. a|)parents.

.Soit, par exemple, /»=:''), h ^^ \ (iiiod'>,); \ oyons coinuieiil ou poiiriM |)as,Ncr de l'équation il) à une équation de même famille n'ay.mt ijuiin point a|ipaieul. Soient ai, a^, ..., «* les [joints singuliers, />,, h,, ..., />/, h's [toiiits apparents.

Posons

_ a(x — /y|)(,r — bi) . . .{x ~ b/i) {x — d)

"^ ~ (x — a,)^(x — ai)HT—a3f(T — c,)Hx — c,_)^. ..(X— c„, )2

Je suppose 2.111 -^z h — ■'>■ Ou voit que 'l^ contient m i-'. [laramèlres arhi-

SUR UNE CLASSE DINVARIANTS RELATIFS AUX ÉQUATIOiNS LINÉAIRI-S. 49

Iraires, c'est-à-dire a, d, c,, r^, ..., c„,. Considérons la fonction ralion- nrdlc — 0 + 4. Elle sera de degré — 2, et elle aura 3 + m -H li infinis doubles. Combien t'aul-il de conditions pour qu'une fonction R de degré — 2 et ayant

/( infinis douijles puisse se mettre sous la forme o- — -t^> s étant rationnel'. Il

en faut n — 1 , et ces conditions, ainsi que les coefficients de o, s'expriment 1res simplement en fonction des coefficients de R. Ici nous aurons donc 2 + /i + »i conditions, et, comme h d'entre elles sont satisfaites d'elles-mêmes, nous satisferons aux autres à l'aide des /« + 2 paramètres arbitraires qui restent dans 'II. On résoudra donc l'équation

^^-î=-«-^'

ce qui se ramène à un prol)RMne purement algébrujue. Puis on lormera l'équa- tion dont l'intégrale générale s'écrit

kh'

v/4- \^^^ dxj'

y étant l'intégrale générale de (1). Cette é(iuation sera de même forme que (1), elle sera de même famille que (1), et elle n'admettra qu'un [)oint apparent qui sera d. Les coefficients de celte équation seront les invariants de laiiiiUc cherchés.

La question peut se traiter par la même analyse dans le cas le plus général. Un problème se présente maintenant: je suppose que les k points singuliers de(i) soient donnés; peut-on disposer des 2k — 4 invariants, de telle façon que le groupe de l'équation (1) soit ([uelconque? Cela n'est pas évident a priori., mais la considération des fonctions zélafuclisicnnes permet de le démontrer.

H 1"

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rciuhis de l' Académie des Sciences, l. 05, p. 62G-62S {9 octobre 1882

Dans Ti/IikIc des (i)ii(liiiii'~ fiiilisicnnes, j'ai onvlsagé des séries de la (orme suivante :

Il Ilf;) esl ralL;<iiillinic (l'iiiic roncliou rat iiiiiuclle, où I z, ■^'^ ^] soril le>

(it , - , - ^ , , ,

dilTérentes >iilistilulions du groupe fuclisieu envisagé, et où m est un enlier plus grand (pie 1 .

J'ai dcinonlr(' ipie ([)our une iiiènie valeur de /;; ) le cpiotienl de deux de ces séries est une fonelion lin iisienne. lléiiprcxpu'uienl, on |muI se demander si toute fonction fiiciisicnnc peut sexpruner p.ir lui paieil ipiolient. Celle question se ramène à la suivante. J'ai dit déjà cpie toutes les fonctions iucli- sicnnes ayant même groupe pcusenl s'exprimer rationnellement à l'aide de deux d'entre elles, ipir j'appcdlc ,r et y, et eulre iesquidlcs il v a une relalimi algéhrifjue, de soile ipie toiile série de la Ciiinie (i) peu! être égalée à une expression idlr (jne

où ¥(x,y) est raigonlliinr d'iiiir luiuiidu r.il ioiiiicllr.

Réciproquement, loule l'onction idlc ipie i ■'. ) |Hiil-illr l'ire mise sous la forme ("ij? i'oiir lixi'i- le, idi'es, je supposerai qu'il s'agit d'une de ces familles de fonctions fuchsienncs qui n'existenl (pi'à l'iuliMicur du cercle toiidamenlal.

SUR LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 5l

Nous trouvons d'abord aiséineul ([uc, pour pouvoir être mise sous la forme (i), l'expression (9.) doit s'annuler <piand z vient en un des sommets de la deuxième catégorie du polygone Ro-

Supposons une fois pour foules celle condition remplie.

Les fonctions telles que ( ?. ) peuvent ou bien admettre des infinis (nous dirons alors qu'elles sont de la première espèce), ou bien n'en pas admettre, auquel cas elles seront de la deuxième espèce. De même, les séries telles que (i) seront (sauf des cas exceptionnels que nous laisserons de côti') de la première espèce et auront des infinis si n(;;) a des pôles à l'intérieur du cercle fondamental. Dans le cas contraire, elle sera de la deuxième espèce et n'aura pas d'infini.

Je dis d'abord que toute expression de la forme (2) et de la deuxu"'nie espèce peut être égalée à une série de la forme (i) et de la deuxième espèce. \ln effet, on (b'inontrc que toutes les cx|)ressinns de la forme (2) de la deuxième espèce peuvent s'exprimer linéairement à l'aide de p d'entre elles, p <'tant un nombre entier facile à déterminer. Le tluMirèuie é'noncé sera donc déuiontré si j'établis qu'il est possible de mettre sous la forme (1) p expressions telles que (2) linéairement indi-pendantes entre elles. Or, dire que cela est impos- sible, ce serait dire que toutes les séries (1) de la deuxième espèce peuvent s'exprimer linéairement à l'aide de /) — 1 d'entre elles. Mais je dis qu'il n'en est jias ainsi.

En effet, supposons que loiiLes les séries (i) de la deuxièuie espèce puissent s'exprimer linéairement à l'aide de/) — 1 d'entre elles, que j'appellerai 0,, 02, ...,0/,^,. Soient :;|, ^21 ■••7 '-p /' points cboisis au hasard à l'intihieur du cercle fondamental. On pourra toujours trouvcryj nmuljres yV,, A^, .••, A^, tels

qu'on ait